Реши 6 задачу с рисунком

Краткий ответ: \[ \boxed{\angle\bigl(SB,(ADB)\bigr)= \arcsin\frac{3\sqrt3}{\sqrt{133}}\approx 26{,}8^\circ} \]

Решение

Пусть основание \(ABC\) лежит в плоскости \(z=0\). Так как пирамида правильная, высота \(SO\) проходит через центр равностороннего треугольника \(ABC\).

Выберем координаты: \[ A(-3,0,0),\quad B(3,0,0),\quad C(0,3\sqrt3,0). \] Центр основания: \[ O(0,\sqrt3,0), \] поэтому \[ S(0,\sqrt3,8). \]

Точка \(D\) — середина \(SC\), значит: \[ D\left(0,2\sqrt3,4\right). \]

Плоскость \((ADB)\) имеет уравнение \[ 2y-\sqrt3z=0, \] её нормаль: \[ \vec n=(0,2,-\sqrt3). \]

Направляющий вектор прямой \(SB\): \[ \vec{SB}=B-S=(3,-\sqrt3,-8). \]

Угол между прямой и плоскостью находим по формуле: \[ \sin\alpha= \frac{|\vec{SB}\cdot\vec n|} {|\vec{SB}|\cdot|\vec n|}. \]

Вычислим: \[ \vec{SB}\cdot\vec n =3\cdot0+(-\sqrt3)\cdot2+(-8)(-\sqrt3) =6\sqrt3, \] \[ |\vec{SB}|=\sqrt{3^2+(\sqrt3)^2+8^2} =2\sqrt{19}, \qquad |\vec n|=\sqrt7. \]

Тогда \[ \sin\alpha= \frac{6\sqrt3}{2\sqrt{19}\sqrt7} =\frac{3\sqrt3}{\sqrt{133}}. \]

Следовательно, \[ \boxed{\alpha=\arcsin\frac{3\sqrt3}{\sqrt{133}}\approx26{,}8^\circ}. \]

Проверка: полученный синус меньше \(1\), значит значение угла корректно.