Реши по очереди
Краткие ответы
22.6
- \(LM\parallel KP,\ KL\parallel PM\).
- \(LO=OP\).
- \(KO=OM\) — на рисунке точка пересечения обозначена \(O\) (если в условии она названа \(A\), то \(KA=AM\)).
- \(O\) равноудалена от прямых \(KL\) и \(KP\).
§ 23
- 23.1: 1) \(900^\circ\); 2) \(8\) углов.
- 23.2: 1) \(135^\circ\); 2) \(11\) углов.
- 23.3: 1) \(720^\circ\); 2) да, \(24\)-угольник.
- 23.4: 1) в \(2\) раза; 2) да, \(13\)-угольник.
- 23.5: 1) да, \(16\)-угольник; 2) угол между биссектрисами равен \(\dfrac{\angle C+\angle D}{2}\).
- 23.6: 1) \(5\) сторон; 2) сумма углов выпуклого четырёхугольника равна \(360^\circ\).
Решение
22.6
Так как
\[ KL=LM=MP=PK, \]
то, в частности,
\[ KL=MP,\qquad LM=PK. \]
Рассмотрим треугольники \(KLM\) и \(MPK\). У них:
- \(KL=MP\);
- \(LM=PK\);
- \(KM\) — общая сторона.
Следовательно, треугольники равны по трём сторонам.
Отсюда:
\[ \angle LKM=\angle PMK,\qquad \angle LMK=\angle MKP. \]
Это накрест лежащие углы, поэтому
\[ KL\parallel PM,\qquad LM\parallel KP. \]
Значит, \(KLM P\) — параллелограмм.
2–3. Диагонали параллелограмма
Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, поэтому
\[ LO=OP,\qquad KO=OM. \]
4. Равноудалённость от прямых
Из равенства треугольников следует:
\[ \angle LKM=\angle MKP. \]
Значит, \(KM\) — биссектриса угла \(LKP\). Точка \(O\) лежит на \(KM\), следовательно, она лежит на биссектрисе этого угла.
Любая точка биссектрисы угла равноудалена от его сторон, поэтому
\[ \operatorname{dist}(O,KL)=\operatorname{dist}(O,KP). \]
§ 23. Многоугольники. Сумма углов
Главная формула:
\[ S_n=(n-2)\cdot180^\circ, \]
где \(n\) — число сторон многоугольника.
23.1
1)
Для семиугольника:
\[ S_7=(7-2)\cdot180^\circ=900^\circ. \]
2)
Пусть многоугольник имеет \(n\) углов. Тогда:
\[ 135^\circ n=(n-2)\cdot180^\circ. \]
\[ 135n=180n-360, \]
\[ 45n=360, \]
\[ n=8. \]
Проверка:
\[ 8\cdot135^\circ=1080^\circ=S_8. \]
23.2
1)
Сумма углов восьмиугольника:
\[ S_8=(8-2)\cdot180^\circ=1080^\circ. \]
Все углы равны, поэтому каждый равен:
\[ \frac{1080^\circ}{8}=135^\circ. \]
2)
\[ (n-2)\cdot180^\circ=1620^\circ. \]
\[ n-2=9, \]
\[ n=11. \]
23.3
1)
\[ S_8-S_4=1080^\circ-360^\circ=720^\circ. \]
Ответ: на \(720^\circ\).
2)
Если каждый угол равен \(165^\circ\), то внешний угол равен:
\[ 180^\circ-165^\circ=15^\circ. \]
Сумма внешних углов выпуклого многоугольника равна \(360^\circ\), поэтому:
\[ n=\frac{360^\circ}{15^\circ}=24. \]
Такой многоугольник существует.
23.4
1)
\[ S_{10}=(10-2)\cdot180^\circ=1440^\circ, \]
\[ S_6=(6-2)\cdot180^\circ=720^\circ. \]
\[ \frac{S_{10}}{S_6}=\frac{1440}{720}=2. \]
Ответ: в \(2\) раза.
2)
\[ (n-2)\cdot180^\circ=1980^\circ. \]
\[ n-2=11, \]
\[ n=13. \]
Такой многоугольник существует.
23.5
1)
Сумма углов девятиугольника:
\[ S_9=(9-2)\cdot180^\circ=1260^\circ. \]
Вдвое большая сумма:
\[ 2S_9=2520^\circ. \]
Пусть искомый многоугольник имеет \(n\) сторон:
\[ (n-2)\cdot180^\circ=2520^\circ. \]
\[ n-2=14, \]
\[ n=16. \]
Такой многоугольник существует.
2)
Пусть биссектрисы углов \(A\) и \(B\) пересекаются в точке \(O\).
В треугольнике \(AOB\):
\[ \angle OAB=\frac{\angle A}{2},\qquad \angle ABO=\frac{\angle B}{2}. \]
Тогда
\[ \angle AOB =180^\circ-\frac{\angle A+\angle B}{2}. \]
Для четырёхугольника:
\[ \angle A+\angle B+\angle C+\angle D=360^\circ. \]
Значит,
\[ \angle AOB =\frac{\angle C+\angle D}{2}. \]
Так как по условию
\[ \angle C+\angle D\le180^\circ, \]
полученный угол не больше \(90^\circ\), то это и есть меньший угол между биссектрисами.
23.6
1)
В рав कोугольном четырёхугольнике каждый угол равен:
\[ \frac{360^\circ}{4}=90^\circ. \]
Угол искомого многоугольника на \(18^\circ\) больше:
\[ 90^\circ+18^\circ=108^\circ. \]
Пусть число его сторон равно \(n\):
\[ 108^\circ n=(n-2)\cdot180^\circ. \]
\[ 108n=180n-360, \]
\[ 72n=360, \]
\[ n=5. \]
Ответ: \(5\) сторон.
Проверка:
\[ \frac{(5-2)\cdot180^\circ}{5}=108^\circ. \]
2)
Диагонали \(AC\) и \(BD\) делят выпуклый четырёхугольник на четыре треугольника:
\[ AOB,\quad BOC,\quad COD,\quad DOA. \]
Сумма углов этих треугольников равна:
\[ 4\cdot180^\circ=720^\circ. \]
Углы вокруг точки \(O\) в сумме дают:
\[ \angle AOB+\angle BOC+\angle COD+\angle DOA=360^\circ. \]
Значит, сумма углов при вершинах \(A,B,C,D\) равна:
\[ 720^\circ-360^\circ=360^\circ. \]
Следовательно,
\[ \boxed{\angle A+\angle B+\angle C+\angle D=360^\circ}. \]
