Реши задание на изображении
Краткий ответ:
- а) \[ (A-B)A+5B= \begin{pmatrix} 14&-4\\ 36&19 \end{pmatrix} \]
б) \[ 4(A-B)+A^2= \begin{pmatrix} -2&-30\\ 39&51 \end{pmatrix} \]
- \[ \boxed{x=2,\ y=3,\ z=4} \]
1. Действия с матрицами
Даны:
\[ A=\begin{pmatrix}4&-2\\3&5\end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix}7&1\\0&-3\end{pmatrix}. \]
Сначала найдём разность:
\[ A-B= \begin{pmatrix} 4-7&-2-1\\ 3-0&5-(-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3&-3\\ 3&8 \end{pmatrix}. \]
а) \((A-B)A+5B\)
При умножении матриц элементы получают как сумму произведений элементов строки первой матрицы и столбца второй:
\[ (A-B)A= \begin{pmatrix} -3&-3\\ 3&8 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4&-2\\ 3&5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -21&-9\\ 36&34 \end{pmatrix}. \]
Также:
\[ 5B= \begin{pmatrix} 35&5\\ 0&-15 \end{pmatrix}. \]
Тогда:
\[ (A-B)A+5B= \begin{pmatrix} -21&-9\\ 36&34 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 35&5\\ 0&-15 \end{pmatrix} = \boxed{\begin{pmatrix} 14&-4\\ 36&19 \end{pmatrix}}. \]
б) \(4(A-B)+A^2\)
\[ 4(A-B)= \begin{pmatrix} -12&-12\\ 12&32 \end{pmatrix}. \]
Найдём квадрат матрицы \(A\):
\[ A^2= \begin{pmatrix} 4&-2\\ 3&5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4&-2\\ 3&5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10&-18\\ 27&19 \end{pmatrix}. \]
Следовательно,
\[ 4(A-B)+A^2= \begin{pmatrix} -12&-12\\ 12&32 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 10&-18\\ 27&19 \end{pmatrix} = \boxed{\begin{pmatrix} -2&-30\\ 39&51 \end{pmatrix}}. \]
2. Решение СЛАУ
\[ \begin{cases} 2x-4y+9z=28,\\ 7x+3y-6z=-1,\\ 7x+9y-9z=5. \end{cases} \]
Вычтем второе уравнение из третьего:
\[ (7x+9y-9z)-(7x+3y-6z)=5-(-1), \]
\[ 6y-3z=6, \qquad 2y-z=2, \]
\[ z=2y-2. \]
Подставим это выражение в первое уравнение:
\[ 2x-4y+9(2y-2)=28, \]
\[ 2x+14y=46, \qquad x+7y=23. \]
Во второе уравнение:
\[ 7x+3y-6(2y-2)=-1, \]
\[ 7x-9y=-13. \]
Из первого уравнения:
\[ x=23-7y. \]
Подставим:
\[ 7(23-7y)-9y=-13, \]
\[ 161-58y=-13, \]
\[ y=3. \]
Тогда:
\[ x=23-7\cdot3=2, \qquad z=2\cdot3-2=4. \]
Проверка
\[ 2\cdot2-4\cdot3+9\cdot4=28, \]
\[ 7\cdot2+3\cdot3-6\cdot4=-1, \]
\[ 7\cdot2+9\cdot3-9\cdot4=5. \]
Все равенства верны.
