Реши задание на изображении
Краткие ответы
- Путь: \(700\ \text{м}\); модуль перемещения: \(500\ \text{м}\).
- Средняя скорость: \(48\ \text{км/ч}\).
- Путь за первые 5 с: \(25\ \text{м}\).
- Тормозной путь: \(40\ \text{м}\).
- Время падения: \(3\ \text{с}\); скорость удара: \(30\ \text{м/с}\) вниз.
- Максимальная высота: \(20\ \text{м}\); полное время полёта: \(4\ \text{с}\).
- Время падения: \(2\ \text{с}\); дальность полёта: \(30\ \text{м}\).
- Максимальная высота: \(5\ \text{м}\); дальность полёта: \(20\sqrt3\approx34{,}6\ \text{м}\).
Решение
1. Путь и перемещение
Путь — это длина всей траектории:
\[ s=300+400=700\ \text{м}. \]
Так как велосипедист повернул на \(90^\circ\), два участка пути перпендикулярны. Модуль перемещения найдём по теореме Пифагора:
\[ |\vec s|=\sqrt{300^2+400^2} =\sqrt{90000+160000} =\sqrt{250000}=500\ \text{м}. \]
Ответ: \(s=700\ \text{м}\), \(|\vec s|=500\ \text{м}\).
2. Средняя скорость
Пусть каждая половина пути равна \(l\). Тогда весь путь:
\[ S=2l. \]
Время движения на каждом участке:
\[ t_1=\frac{l}{60},\qquad t_2=\frac{l}{40}. \]
Средняя скорость равна отношению всего пути ко всему времени:
\[ v_{\text{ср}}=\frac{2l}{\frac{l}{60}+\frac{l}{40}}. \]
\[ v_{\text{ср}}= \frac{2}{\frac1{60}+\frac1{40}} = \frac{2}{\frac{5}{120}} =48\ \text{км/ч}. \]
Важно: поскольку равными являются пути, а не времена, нельзя просто брать среднее арифметическое \(50\ \text{км/ч}\).
3. Равноускоренное движение
Дано:
\[ v_0=0,\qquad a=2\ \text{м/с}^2,\qquad t=5\ \text{с}. \]
Путь при равноускоренном движении:
\[ s=v_0t+\frac{at^2}{2}. \]
Подставим значения:
\[ s=0+\frac{2\cdot5^2}{2}=25\ \text{м}. \]
Проверка: конечная скорость \(v=at=10\ \text{м/с}\), средняя скорость \((0+10)/2=5\ \text{м/с}\), поэтому \(s=5\cdot5=25\ \text{м}\).
4. Тормозной путь
Переведём скорость:
\[ 72\ \text{км/ч}=\frac{72}{3{,}6}=20\ \text{м/с}. \]
При торможении:
\[ v_0=20\ \text{м/с},\qquad v=0,\qquad a=-5\ \text{м/с}^2. \]
Используем формулу:
\[ v^2=v_0^2+2as. \]
\[ 0=20^2+2(-5)s, \]
\[ 0=400-10s, \qquad s=40\ \text{м}. \]
Ответ: \(40\ \text{м}\).
5. Свободное падение
Дано:
\[ h=45\ \text{м},\qquad v_0=0,\qquad g=10\ \text{м/с}^2. \]
Из формулы падения:
\[ h=\frac{gt^2}{2}. \]
\[ 45=\frac{10t^2}{2}=5t^2, \]
\[ t^2=9,\qquad t=3\ \text{с}. \]
Скорость перед ударом:
\[ v=gt=10\cdot3=30\ \text{м/с}. \]
Ответ: \(t=3\ \text{с}\), \(v=30\ \text{м/с}\) вниз.
6. Движение вертикально вверх
Дано:
\[ v_0=20\ \text{м/с},\qquad g=10\ \text{м/с}^2. \]
В верхней точке скорость равна нулю:
\[ v=v_0-gt_{\text{подъёма}}. \]
\[ 0=20-10t_{\text{подъёма}}, \qquad t_{\text{подъёма}}=2\ \text{с}. \]
Максимальная высота:
\[ h_{\max}=\frac{v_0^2}{2g} =\frac{20^2}{2\cdot10} =20\ \text{м}. \]
Время подъёма равно времени падения обратно, поэтому:
\[ t_{\text{полное}}=2t_{\text{подъёма}}=4\ \text{с}. \]
7. Горизонтальный бросок
Вертикальное движение — свободное падение с высоты \(h=20\ \text{м}\):
\[ h=\frac{gt^2}{2}. \]
\[ 20=5t^2, \qquad t^2=4, \qquad t=2\ \text{с}. \]
По горизонтали тело движется равномерно:
\[ L=v_xt=15\cdot2=30\ \text{м}. \]
Ответ: \(t=2\ \text{с}\), \(L=30\ \text{м}\).
8. Бросок под углом к горизонту
Дано:
\[ v_0=20\ \text{м/с},\qquad \alpha=30^\circ,\qquad g=10\ \text{м/с}^2. \]
Разложим начальную скорость на составляющие:
\[ v_{0x}=v_0\cos30^\circ=20\cdot\frac{\sqrt3}{2}=10\sqrt3\ \text{м/с}, \]
\[ v_{0y}=v_0\sin30^\circ=20\cdot\frac12=10\ \text{м/с}. \]
Максимальная высота:
\[ h_{\max}=\frac{v_{0y}^2}{2g} =\frac{10^2}{2\cdot10} =5\ \text{м}. \]
Полное время полёта:
\[ T=\frac{2v_{0y}}{g} =\frac{2\cdot10}{10}=2\ \text{с}. \]
Дальность полёта:
\[ L=v_{0x}T=10\sqrt3\cdot2=20\sqrt3\ \text{м}. \]
\[ L\approx34{,}6\ \text{м}. \]
