285
Ответ (\(n\in\mathbb Z\)):
а) \[ t=\pi n\pm\frac{\pi}{6}; \]
б) \[ t=\frac{\pi}{2}+\pi n \quad\text{или}\quad t=2\pi n\pm\frac{\pi}{3}; \]
в) \[ t=\pi n\pm\frac{\pi}{3}; \]
г) \[ t=\frac{\pi}{2}+\pi n \quad\text{или}\quad t=2\pi n\pm\frac{2\pi}{3}. \]
Как решать
Обозначим \(x=\cos t\). Тогда каждое уравнение становится квадратным относительно \(x\).
а)
\[
3-4\cos^2t=0
\]
\[
\cos^2t=\frac34,\qquad \cos t=\pm\frac{\sqrt3}{2}.
\]
Отсюда:
\[
t=\pi n\pm\frac{\pi}{6}.
\]
б)
\[
2\cos^2t-\cos t=0
\]
\[
\cos t(2\cos t-1)=0.
\]
Значит,
\[
\cos t=0\quad\text{или}\quad \cos t=\frac12.
\]
Отсюда:
\[
t=\frac{\pi}{2}+\pi n
\quad\text{или}\quad
t=2\pi n\pm\frac{\pi}{3}.
\]
в)
\[
4\cos^2t-1=0
\]
\[
\cos^2t=\frac14,\qquad \cos t=\pm\frac12.
\]
Следовательно,
\[
t=\pi n\pm\frac{\pi}{3}.
\]
г)
\[
2\cos^2t+\cos t=0
\]
\[
\cos t(2\cos t+1)=0.
\]
Значит,
\[
\cos t=0\quad\text{или}\quad \cos t=-\frac12,
\]
откуда
\[
t=\frac{\pi}{2}+\pi n
\quad\text{или}\quad
t=2\pi n\pm\frac{2\pi}{3}.
\]
Проверка выполняется подстановкой найденных значений \(\cos t\) в исходные уравнения: во всех случаях получается верное равенство.
Обсуждение
6 сообщений286
Пришли, пожалуйста, фото или текст задания № 286 — по одному номеру условие не видно.
286
Пришли фото или перепиши условие задания № 286 — одного номера недостаточно.
Это продолжение задания № 286: на изображении видны все четыре пункта.
Пусть \(n\in\mathbb Z\).
а)
\[ 2\sin^2 t+3\sin t-2=0. \] Обозначим \(x=\sin t\): \[ 2x^2+3x-2=0, \] \[ (2x-1)(x+2)=0. \] Так как \(x=\sin t\in[-1;1]\), \(x=-2\) не подходит. Поэтому \[ \sin t=\frac12, \] \[ \boxed{t=\frac{\pi}{6}+2\pi n\quad\text{или}\quad t=\frac{5\pi}{6}+2\pi n}. \]
б)
\[ 2\cos^2t-5\cos t+2=0. \] Пусть \(x=\cos t\): \[ 2x^2-5x+2=0, \] \[ (2x-1)(x-2)=0. \] Значение \(x=2\) невозможно, поэтому \[ \cos t=\frac12. \] Следовательно, \[ \boxed{t=2\pi n\pm\frac{\pi}{3}}. \]
в)
\[ 2\sin^2t+\sin t-1=0. \] Пусть \(x=\sin t\): \[ 2x^2+x-1=0, \] \[ (2x-1)(x+1)=0. \] Отсюда \[ \sin t=\frac12\quad\text{или}\quad \sin t=-1. \] Следовательно, \[ \boxed{t=\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad t=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\quad t=\frac{3\pi}{2}+2\pi n}. \]
г)
\[ 4\cos^2t+9\cos t+5=0. \] Пусть \(x=\cos t\): \[ 4x^2+9x+5=0, \] \[ (4x+5)(x+1)=0. \] Значение \(x=-\frac54\) невозможно, поэтому \[ \cos t=-1. \] Ответ: \[ \boxed{t=\pi+2\pi n}. \]
