Расскажи полностью про кратное
Краткий ответ
В математике число \(A\) кратно числу \(B\), если \(A\) делится на \(B\) без остатка:
\[ A=B\cdot k, \]
где \(k\) — натуральное число.
Например:
\[ 24=6\cdot4, \]
значит, 24 кратно 6, а 6 является делителем 24.
1. Что такое кратное
Кратные числа — это числа, которые получают умножением данного числа на \(1,2,3,\ldots\).
Например, кратные числа для \(5\):
\[ 5\cdot1=5,\quad 5\cdot2=10,\quad 5\cdot3=15,\quad 5\cdot4=20. \]
Получаем:
\[ 5,\ 10,\ 15,\ 20,\ 25,\ 30,\ldots \]
Все эти числа кратны \(5\).
Иногда \(0\) тоже считают кратным любого числа, потому что \(0=a\cdot0\). Но в школьных списках обычно начинают с самого числа: \(a,2a,3a,\ldots\).
2. Как правильно понимать фразу «кратно»
Фраза «\(A\) кратно \(B\)» означает:
\[ A:B \]
делится без остатка.
Примеры
\[ 42:7=6 \]
Значит, 42 кратно 7.
\[ 35:5=7 \]
Значит, 35 кратно 5.
А вот:
\[ 25:4=6\text{ и остаток }1. \]
Значит, 25 не кратно 4.
Важно не перепутать порядок
\[ 18=3\cdot6. \]
Поэтому:
- \(18\) кратно \(3\);
- \(3\) — делитель \(18\);
- \(3\) не называют кратным \(18\).
Можно запомнить:
Большое число — кратное, маленькое число — делитель.
3. Как проверить, кратно ли одно число другому
Способ 1. Разделить
Нужно разделить первое число на второе.
Например, проверить, кратно ли \(56\) числу \(8\):
\[ 56:8=7. \]
Деление выполнено без остатка, значит:
\[ 56\text{ кратно }8. \]
Проверим \(47\) на кратность \(6\):
\[ 47:6=7\text{ и остаток }5. \]
Значит, \(47\) не кратно \(6\).
Способ 2. Представить в виде произведения
Если число можно записать как произведение данного числа и натурального числа, оно кратно данному числу.
\[ 72=9\cdot8. \]
Следовательно, \(72\) кратно \(9\).
4. Как найти числа, кратные данному
Чтобы найти числа, кратные \(a\), нужно умножать \(a\) на \(1,2,3,\ldots\):
\[ a,\ 2a,\ 3a,\ 4a,\ldots \]
Пример
Найти числа, кратные \(7\), от \(20\) до \(50\).
Переберём произведения:
\[ 7\cdot3=21, \] \[ 7\cdot4=28, \] \[ 7\cdot5=35, \] \[ 7\cdot6=42, \] \[ 7\cdot7=49, \] \[ 7\cdot8=56>50. \]
Ответ:
\[ 21,\ 28,\ 35,\ 42,\ 49. \]
5. Как найти наименьшее кратное, большее заданного числа
Пример
Найти наименьшее число, кратное \(8\), которое больше \(30\).
Кратные \(8\):
\[ 8,\ 16,\ 24,\ 32,\ 40,\ldots \]
Первое число, которое больше \(30\), — это \(32\).
Ответ:
\[ 32. \]
6. Общие кратные
Общее кратное нескольких чисел — это число, которое кратно каждому из них.
Например, кратные \(4\):
\[ 4,\ 8,\ 12,\ 16,\ 20,\ 24,\ldots \]
Кратные \(6\):
\[ 6,\ 12,\ 18,\ 24,\ 30,\ldots \]
Общие кратные:
\[ 12,\ 24,\ 36,\ldots \]
Самое маленькое положительное общее кратное называется наименьшим общим кратным, или НОК.
\[ \operatorname{НОК}(4,6)=12. \]
7. Связь с делителями
Если \(A\) кратно \(B\), то \(B\) является делителем \(A\).
Например:
\[ 36=4\cdot9. \]
Значит:
- \(36\) кратно \(4\);
- \(36\) кратно \(9\);
- \(4\) и \(9\) — делители \(36\).
Запись:
\[ 4\mid36 \]
читается: «4 делит 36».
Если число не делится без остатка, используют запись:
\[ 4\nmid35. \]
Это означает: «4 не делит 35».
8. Полезные признаки делимости
С помощью признаков можно быстро проверить, кратно ли число другому.
| Число | Признак делимости |
|---|---|
| \(2\) | последняя цифра \(0,2,4,6\) или \(8\) |
| \(3\) | сумма цифр делится на \(3\) |
| \(4\) | последние две цифры делятся на \(4\) |
| \(5\) | последняя цифра \(0\) или \(5\) |
| \(6\) | число делится и на \(2\), и на \(3\) |
| \(8\) | последние три цифры делятся на \(8\) |
| \(9\) | сумма цифр делится на \(9\) |
| \(10\) | последняя цифра \(0\) |
Примеры
Число \(738\) кратно \(3\), потому что:
\[ 7+3+8=18, \]
а \(18\) делится на \(3\).
Число \(124\) кратно \(4\), потому что последние две цифры \(24\), а:
\[ 24:4=6. \]
Число \(250\) кратно \(10\), потому что оканчивается на \(0\).
9. Основные свойства кратных
Сумма кратных
Если два числа кратны одному и тому же числу, их сумма тоже кратна этому числу.
Например:
\[ 18\text{ и }30\text{ кратны }6. \]
Тогда:
\[ 18+30=48, \]
а \(48\) тоже кратно \(6\).
Разность кратных
\[ 30-18=12, \]
и \(12\) кратно \(6\).
Последовательность кратных
Каждое следующее положительное кратное числа \(a\) получается прибавлением \(a\):
\[ a,\ 2a,\ 3a,\ 4a,\ldots \]
Например, для \(9\):
\[ 9,\ 18,\ 27,\ 36,\ 45,\ldots \]
Разность соседних кратных всегда равна \(9\).
Переход через кратность
Если \(A\) кратно \(B\), а \(B\) кратно \(C\), то \(A\) кратно \(C\).
Например:
\[ 48=12\cdot4,\qquad 12=3\cdot4. \]
Значит, \(48\) кратно \(3\):
\[ 48=3\cdot16. \]
10. Главное, что нужно запомнить
- \(A\) кратно \(B\), если \(A:B\) делится без остатка.
- Формула кратного:
\[ A=B\cdot k. \]
- Чтобы найти кратные числа, нужно умножать число на \(1,2,3,\ldots\).
- Если \(A\) кратно \(B\), то \(B\) — делитель \(A\).
- Не путай порядок:
\[ 24\text{ кратно }6,\quad\text{но }6\text{ не кратно }24. \]
Быстрая проверка
- \(63\) кратно \(7\), потому что \(63=7\cdot9\).
- \(46\) не кратно \(5\), потому что при делении на \(5\) получается остаток \(1\).
- \(4,8,12,16,\ldots\) — числа, кратные \(4\).
