Номер 1025

Ответ (стороны — в единицах условия; округление до \(0{,}01\)):

• а) \(A=60^\circ,\ B=40^\circ,\ C=80^\circ\);
  \[ a\approx12{,}31,\quad b\approx9{,}14,\quad c=14. \]

• б) \(A=30^\circ,\ B=75^\circ,\ C=75^\circ\);
  \[ a\approx2{,}33,\quad b=4{,}5,\quad c=4{,}5. \]

• в) \(A=80^\circ,\ B\approx37{,}99^\circ,\ C\approx62{,}01^\circ\);
  \[ a=16,\quad b=10,\quad c\approx14{,}35. \]

• г) \(A=65^\circ,\ B=45^\circ,\ C=70^\circ\);
  \[ a=24{,}6,\quad b\approx19{,}19,\quad c\approx25{,}51. \]

• д) \(A=60^\circ,\ B\approx37{,}32^\circ,\ C\approx82{,}68^\circ\);
  \[ a=10,\quad b=7,\quad c\approx11{,}45. \]

• е) \(A=B=63^\circ,\ C=54^\circ\);
  \[ a=b=6{,}3,\quad c\approx5{,}72. \]

• ж) \(A=87^\circ,\ B\approx36{,}41^\circ,\ C\approx56{,}59^\circ\);
  \[ a\approx53{,}84,\quad b=32,\quad c=45. \]

• з)
  \[ A\approx42{,}83^\circ,\quad B\approx60{,}94^\circ,\quad C\approx76{,}23^\circ. \]

• и)
  \[ A\approx54{,}87^\circ,\quad B\approx84{,}27^\circ,\quad C\approx40{,}86^\circ. \]

Как решать

Используем соответствие: сторона \(a\) лежит напротив угла \(A\), \(b\) — напротив \(B\), \(c\) — напротив \(C\).

Основные формулы:

\[ A+B+C=180^\circ, \]

\[ \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}, \]

\[ a^2=b^2+c^2-2bc\cos A. \]

Например, в пункте в):

\[ \sin B=\frac{b\sin A}{a} =\frac{10\sin80^\circ}{16}\approx0{,}6155. \]

Отсюда

\[ B\approx37{,}99^\circ,\qquad C=180^\circ-80^\circ-37{,}99^\circ\approx62{,}01^\circ. \]

Затем по теореме синусов:

\[ c=\frac{a\sin C}{\sin A} =\frac{16\sin62{,}01^\circ}{\sin80^\circ} \approx14{,}35. \]

В пункте ж) сначала применяем теорему косинусов:

\[ a^2=32^2+45^2-2\cdot32\cdot45\cos87^\circ, \]

\[ a\approx53{,}84. \]

Затем по теореме синусов находим \(B\), а угол \(C\) — из суммы углов.

Проверка: в каждом пункте сумма найденных углов равна \(180^\circ\) с учётом округления.