81

Краткий ответ:
а) \(22\); б) \(8\); в) \(8\); г) \(15\).

Чтобы посчитать целые числа между двумя числами, найдём ближайшие целые границы.

а) \(-5\sqrt6\) и \(\sqrt{83}\)

\[ -5\sqrt6\approx -12{,}25,\qquad \sqrt{83}\approx 9{,}11. \]

Между ними расположены целые числа от \(-12\) до \(9\):

\[ 9-(-12)+1=22. \]

б) \(3\sqrt3\) и \(4\sqrt{11}\)

\[ 3\sqrt3\approx5{,}20,\qquad4\sqrt{11}\approx13{,}27. \]

Целые числа: \(6,7,\ldots,13\).

\[ 13-6+1=8. \]

в) \(-5\sqrt6\) и \(-\dfrac12\sqrt{68}\)

\[ -5\sqrt6\approx-12{,}25,\qquad -\frac12\sqrt{68}=-\sqrt{17}\approx-4{,}12. \]

Целые числа: \(-12,-11,\ldots,-5\).

\[ -5-(-12)+1=8. \]

г) \(-\dfrac23\sqrt{54}\) и \(\dfrac67\sqrt{147}\)

Упростим корни:

\[ -\frac23\sqrt{54}=-\frac23\cdot3\sqrt6=-2\sqrt6\approx-4{,}90, \]

\[ \frac67\sqrt{147}=\frac67\cdot7\sqrt3=6\sqrt3\approx10{,}39. \]

Целые числа: \(-4,-3,\ldots,10\).

\[ 10-(-4)+1=15. \]