Помоги разобрать как решаются задачи на подобии 60 и 61

Краткий ответ

60.
а) \((x,y)=(16,15)\), \((-15,-16)\);
б) \((x,y)=(4,-7)\), \((8,1)\).

61.
а) 2 решения: \(x=5\), \(x=-\dfrac52\);
б) 2 решения: \(x=0\), \(x=1\).

Как решать такие задачи

60а. Система с произведением

\[ \begin{cases} x-y=1,\\ xy=240. \end{cases} \]

Из первого уравнения выразим \(x\):

\[ x=y+1. \]

Подставим во второе:

\[ (y+1)y=240, \]

\[ y^2+y-240=0. \]

Разложим на множители:

\[ (y-15)(y+16)=0. \]

Значит,

\[ y=15 \quad\text{или}\quad y=-16. \]

Находим \(x\):

• если \(y=15\), то \(x=16\);
• если \(y=-16\), то \(x=-15\).

Ответ:

\[ (16,15),\quad (-15,-16). \]

Проверка:

\[ 16-15=1,\quad 16\cdot15=240; \]

\[ -15-(-16)=1,\quad (-15)(-16)=240. \]

---

60б. Система с квадратами

\[ \begin{cases} x^2+y^2=65,\\ 2x-y=15. \end{cases} \]

Выразим \(y\):

\[ y=2x-15. \]

Подставим:

\[ x^2+(2x-15)^2=65. \]

Раскроем скобки:

\[ x^2+4x^2-60x+225=65, \]

\[ 5x^2-60x+160=0. \]

Разделим на \(5\):

\[ x^2-12x+32=0. \]

Разложим:

\[ (x-4)(x-8)=0. \]

Поэтому:

\[ x=4\quad\text{или}\quad x=8. \]

Находим \(y\):

• при \(x=4\): \(y=2\cdot4-15=-7\);
• при \(x=8\): \(y=2\cdot8-15=1\).

Ответ:

\[ (4,-7),\quad (8,1). \]

Проверка:

\[ 4^2+(-7)^2=16+49=65,\quad 2\cdot4-(-7)=15; \]

\[ 8^2+1^2=64+1=65,\quad 2\cdot8-1=15. \]

Главный приём для систем: выразить одну переменную через другую, подставить и решить полученное квадратное уравнение.

---

61а. Уравнение с дробью

\[ \frac{25}{x}=2x-5. \]

Сначала учитываем ограничение:

\[ x\ne0. \]

Умножаем уравнение на \(x\):

\[ 25=2x^2-5x. \]

Переносим всё в одну сторону:

\[ 2x^2-5x-25=0. \]

Разложим:

\[ (2x+5)(x-5)=0. \]

Отсюда:

\[ x=-\frac52\quad\text{или}\quad x=5. \]

Оба значения не равны нулю, значит, подходят. Поэтому уравнение имеет 2 решения.

Важно: при уравнениях с дробью сначала проверяй, какие значения нельзя брать в знаменатель.

---

61б. Уравнение с модулем

\[ x^3=|x|. \]

Модуль раскрывают по знаку числа.

Если \(x<0\)

Тогда \(x^3<0\), а \(|x|>0\). Левая и правая части имеют разные знаки, поэтому решений нет.

Если \(x\ge0\)

Тогда \(|x|=x\), и уравнение становится:

\[ x^3=x, \]

\[ x(x^2-1)=0, \]

\[ x(x-1)(x+1)=0. \]

Получаем \(x=0\), \(x=1\), \(x=-1\). Но в рассматриваемом случае \(x\ge0\), поэтому подходят только:

\[ x=0,\quad x=1. \]

Следовательно, уравнение имеет 2 решения.

Главный приём с модулем: разделить решение на случаи \(x\ge0\) и \(x<0\), а затем оставить только подходящие корни.