Реши все задания

Краткий ответ

21. \(KB=KC\), поэтому точка \(K\) равноудалена от вершин \(B\) и \(C\).

22. Таких положительных значений \(m\) нет.

23. \(S_{\triangle ABC}=4\ \text{см}^2\).

21

Так как \(ABC\) — равносторонний треугольник,

\[ AB=AC. \]

\(AM\) — биссектриса угла \(A\), а точка \(K\) лежит на \(AM\), поэтому

\[ \angle BAK=\angle KAC. \]

Рассмотрим треугольники \(ABK\) и \(ACK\):

• \(AB=AC\);
• \(AK\) — общая сторона;
• \(\angle BAK=\angle KAC\).

Следовательно, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Значит,

\[ \boxed{KB=KC}. \]

22

Дана система:

\[ \begin{cases} x-y=2,\\ x^2+y=m^2. \end{cases} \]

Из первого уравнения:

\[ x=y+2. \]

Подставим во второе:

\[ (y+2)^2+y=m^2, \]

\[ y^2+5y+4-m^2=0. \]

Это квадратное уравнение относительно \(y\). Его дискриминант:

\[ D=5^2-4(4-m^2)=25-16+4m^2=9+4m^2. \]

При любом \(m>0\)

\[ D=9+4m^2>0. \]

Значит, система при любом положительном \(m\) имеет действительные решения.

\[ \boxed{\text{Положительных значений }m\text{ нет}.} \]

23

Медианы \(AM\) и \(BN\) пересекаются в точке \(G\) — центре тяжести треугольника.

Центр тяжести делит каждую медиану в отношении \(2:1\), поэтому

\[ AG=\frac23 AM=\frac23\cdot2=\frac43\ \text{см}, \]

\[ BG=\frac23 BN=\frac23\cdot3=2\ \text{см}. \]

Так как \(AM\perp BN\), то

\[ AG\perp BG. \]

Площадь треугольника \(ABG\):

\[ S_{ABG}=\frac12\cdot AG\cdot BG =\frac12\cdot\frac43\cdot2 =\frac43\ \text{см}^2. \]

Центр тяжести делит треугольник на три равновеликие части, поэтому

\[ S_{ABC}=3S_{ABG} =3\cdot\frac43 =\boxed{4\ \text{см}^2}. \]