Реши 80 номер и 84

Краткий ответ

№ 80

а) \(\displaystyle \frac{xy+1}{y}\)

б) \(\displaystyle \frac{1-a^2}{a}\)

в) \(\displaystyle \frac{11a}{4}\)

г) \(\displaystyle \frac{5b^2-2}{b}\)

д) \(\displaystyle \frac{b}{a}\)

е) \(\displaystyle -\frac1{2p}\)

ж) \(\displaystyle \frac{a^2+b^2}{2a}\)

з) \(\displaystyle -\frac{b^2+c^2}{2b}\)

№ 84

а) \(\displaystyle \frac{2b^2-c^2}{b(b+c)}\)

б) \(\displaystyle \frac6{x(x-2)}\)

в) \(\displaystyle \frac{m^2+n^2}{m^2-n^2}\)

г) \(\displaystyle \frac{4a^2+1}{(2a-1)(2a+1)}\)

д) \(\displaystyle -\frac{4a}{(a+2)(a-2)}\)

е) \(\displaystyle \frac{2p}{(3p-1)(3p+1)}\)

Решение и объяснение

Чтобы представить выражение в виде одной дроби, приводим слагаемые к общему знаменателю.

№ 80

а)
\[ x+\frac1y=\frac{xy}{y}+\frac1y=\frac{xy+1}{y}. \]

б)
\[ \frac1a-a=\frac1a-\frac{a^2}{a} =\frac{1-a^2}{a}. \]

в)
\[ 3a-\frac a4=\frac{12a}{4}-\frac a4 =\frac{11a}{4}. \]

г)
\[ 5b-\frac2b=\frac{5b^2}{b}-\frac2b =\frac{5b^2-2}{b}. \]

д)
\[ \frac{a^2+b}{a}-a =\frac{a^2+b}{a}-\frac{a^2}{a} =\frac{b}{a}. \]

е)
\[ 2p-\frac{4p^2+1}{2p} =\frac{4p^2}{2p}-\frac{4p^2+1}{2p} =-\frac1{2p}. \]

ж)
\[ \frac{(a-b)^2}{2a}+b =\frac{(a-b)^2+2ab}{2a}. \] Раскроем квадрат: \[ (a-b)^2+2ab=a^2-2ab+b^2+2ab=a^2+b^2. \] Значит, \[ \frac{(a-b)^2}{2a}+b=\frac{a^2+b^2}{2a}. \]

з)
\[ c-\frac{(b+c)^2}{2b} =\frac{2bc-(b+c)^2}{2b}. \] \[ 2bc-(b+c)^2=2bc-(b^2+2bc+c^2) =-b^2-c^2. \] Поэтому \[ c-\frac{(b+c)^2}{2b} =-\frac{b^2+c^2}{2b}. \]

№ 84

а) Общий знаменатель: \(b(b+c)\).

\[ \frac{b-c}{b}+\frac b{b+c} =\frac{(b-c)(b+c)+b^2}{b(b+c)}. \] \[ (b-c)(b+c)+b^2=b^2-c^2+b^2=2b^2-c^2. \] Следовательно, \[ \frac{b-c}{b}+\frac b{b+c} =\frac{2b^2-c^2}{b(b+c)}. \]

б) Общий знаменатель: \(x(x-2)\).

\[ \frac{x+1}{x-2}-\frac{x+3}{x} =\frac{x(x+1)-(x+3)(x-2)}{x(x-2)}. \] \[ x(x+1)-(x+3)(x-2) =x^2+x-(x^2+x-6)=6. \] Значит, \[ \frac{x+1}{x-2}-\frac{x+3}{x} =\frac6{x(x-2)}. \]

в) Общий знаменатель: \((m-n)(m+n)\).

\[ \frac m{m-n}-\frac n{m+n} =\frac{m(m+n)-n(m-n)}{(m-n)(m+n)}. \] \[ m(m+n)-n(m-n)=m^2+mn-mn+n^2=m^2+n^2. \] Так как \[ (m-n)(m+n)=m^2-n^2, \] то \[ \frac m{m-n}-\frac n{m+n} =\frac{m^2+n^2}{m^2-n^2}. \]

г)
\[ \frac{2a}{2a-1}-\frac1{2a+1} =\frac{2a(2a+1)-(2a-1)}{(2a-1)(2a+1)}. \] \[ 2a(2a+1)-(2a-1)=4a^2+2a-2a+1=4a^2+1. \] Поэтому \[ \frac{2a}{2a-1}-\frac1{2a+1} =\frac{4a^2+1}{(2a-1)(2a+1)}. \]

д)
\[ \frac a{a+2}-\frac a{a-2} =\frac{a(a-2)-a(a+2)}{(a+2)(a-2)}. \] \[ a(a-2)-a(a+2)=a^2-2a-a^2-2a=-4a. \] Следовательно, \[ \frac a{a+2}-\frac a{a-2} =-\frac{4a}{(a+2)(a-2)}. \]

е)
\[ \frac p{3p-1}-\frac p{1+3p} =\frac{p(1+3p)-p(3p-1)} {(3p-1)(1+3p)}. \] \[ p(1+3p)-p(3p-1)=p\bigl((1+3p)-(3p-1)\bigr)=2p. \] Значит, \[ \frac p{3p-1}-\frac p{1+3p} =\frac{2p}{(3p-1)(3p+1)}. \]

Проверка выполняется обратным раскрытием скобок: при приведении получаются исходные числители и знаменатели. Ограничения: знаменатели исходных дробей не должны быть равны нулю.