Реши задание на изображении

Краткий ответ

• Верхний блок: \(6;\ 2;\ \frac15;\ 15\).
• Средний блок: \(100;\ 81;\ \frac18;\ \frac1{81}\).
• Нижний блок: \(-2;\ -1;\ -\frac13;\ -4;\ -34;\ -8\).

Принцип

Если под корнем находится степень, кратная показателю корня, используем:

\[ \sqrt[n]{a^{kn}}=a^k \]

Для нечётного корня отрицательное число сохраняет знак.

Решение

Верхний блок:

\[ \sqrt[6]{36^3}=\sqrt[6]{(6^2)^3} =\sqrt[6]{6^6}=6; \]

\[ \sqrt[12]{64^2}=\sqrt[12]{(2^6)^2} =\sqrt[12]{2^{12}}=2; \]

\[ \sqrt[4]{\left(\frac1{25}\right)^2} =\sqrt[4]{\left(\left(\frac15\right)^2\right)^2} =\sqrt[4]{\left(\frac15\right)^4} =\frac15; \]

\[ \sqrt[8]{225^4}=\sqrt[8]{(15^2)^4} =\sqrt[8]{15^8}=15. \]

Средний блок:

\[ \sqrt[3]{10^6}=\sqrt[3]{(10^2)^3}=10^2=100; \]

\[ \sqrt[3]{3^{12}}=\sqrt[3]{(3^4)^3}=3^4=81; \]

\[ \sqrt[4]{\left(\frac12\right)^{12}} =\sqrt[4]{\left(\left(\frac12\right)^3\right)^4} =\left(\frac12\right)^3=\frac18; \]

\[ \sqrt[4]{\left(\frac13\right)^{16}} =\sqrt[4]{\left(\left(\frac13\right)^4\right)^4} =\left(\frac13\right)^4=\frac1{81}. \]

Нижний блок:

\[ \sqrt[3]{-8}=\sqrt[3]{(-2)^3}=-2; \qquad \sqrt[15]{-1}=\sqrt[15]{(-1)^{15}}=-1; \]

\[ \sqrt[3]{-\frac1{27}} =\sqrt[3]{\left(-\frac13\right)^3} =-\frac13; \]

\[ \sqrt[5]{-1024}=\sqrt[5]{(-4)^5}=-4; \]

\[ \sqrt[3]{-34^3}=\sqrt[3]{(-34)^3}=-34; \qquad \sqrt[7]{-8^7}=\sqrt[7]{(-8)^7}=-8. \]

Проверка: например, \(100^3=10^6\), \(\left(\frac18\right)^4=\left(\frac12\right)^{12}\), \((-4)^5=-1024\), поэтому полученные значения верны.