Реши
Ответ: \(\displaystyle x=\frac{181}{36}\).
Пусть
\[
a=\sqrt{x+5},\qquad b=\sqrt{x+3}.
\]
Тогда:
\[
a+b=6.
\]
Разность квадратов: \[ a^2-b^2=(x+5)-(x+3)=2. \] Значит, \[ (a-b)(a+b)=2. \] Подставим \(a+b=6\): \[ 6(a-b)=2 \quad\Rightarrow\quad a-b=\frac13. \]
Получаем систему: \[ a+b=6,\qquad a-b=\frac13. \] Складываем: \[ 2a=6+\frac13=\frac{19}{3} \quad\Rightarrow\quad a=\frac{19}{6}. \]
Тогда \[ x+5=a^2=\left(\frac{19}{6}\right)^2=\frac{361}{36}, \] \[ x=\frac{361}{36}-\frac{180}{36} =\boxed{\frac{181}{36}}. \]
Проверка: \[ \sqrt{x+5}+\sqrt{x+3} =\frac{19}{6}+\frac{17}{6} =\frac{36}{6}=6. \]
Обсуждение
8 сообщенийПокажи решение проше, как в школе
Конечно. Решим обычным способом — возведением в квадрат.
Дано: \[ \sqrt{x+5}+\sqrt{x+3}=6. \]
Возведём обе части в квадрат: \[ x+5+x+3+2\sqrt{(x+5)(x+3)}=36. \]
Упростим: \[ 2\sqrt{(x+5)(x+3)}=28-2x, \] \[ \sqrt{(x+5)(x+3)}=14-x. \]
Снова возведём в квадрат: \[ (x+5)(x+3)=(14-x)^2. \]
Раскроем скобки: \[ x^2+8x+15=x^2-28x+196. \]
Сократим \(x^2\): \[ 8x+15=-28x+196, \] \[ 36x=181, \] \[ \boxed{x=\frac{181}{36}}. \]
Проверка: \[ \sqrt{\frac{181}{36}+5}+\sqrt{\frac{181}{36}+3} =\frac{19}{6}+\frac{17}{6}=6. \]
Ответ: \(\boxed{\frac{181}{36}}\).
Реши уравнение как в школе
Решим уравнение школьным способом:
\[ \sqrt{x+5}+\sqrt{x+3}=6. \]
1. ОДЗ:
\[ x+3\ge 0 \quad\Rightarrow\quad x\ge -3. \]
2. Возведём обе части в квадрат:
\[ (\sqrt{x+5}+\sqrt{x+3})^2=6^2, \]
\[ x+5+2\sqrt{(x+5)(x+3)}+x+3=36. \]
\[ 2\sqrt{(x+5)(x+3)}=28-2x, \]
\[ \sqrt{(x+5)(x+3)}=14-x. \]
3. Снова возведём в квадрат:
\[ (x+5)(x+3)=(14-x)^2. \]
Раскроем скобки:
\[ x^2+8x+15=x^2-28x+196. \]
\[ 8x+15=-28x+196, \]
\[ 36x=181, \]
\[ x=\frac{181}{36}. \]
4. Проверка:
\[ \sqrt{\frac{181}{36}+5}+\sqrt{\frac{181}{36}+3} = \sqrt{\frac{361}{36}}+\sqrt{\frac{289}{36}} \]
\[ =\frac{19}{6}+\frac{17}{6} =\frac{36}{6}=6. \]
\[ \boxed{x=\frac{181}{36}} \]
Там корень 15+х
Понял: первое выражение — \(\sqrt{15+x}\), а не \(\sqrt{5+x}\).
Решим уравнение: \[ \sqrt{x+15}+\sqrt{x+3}=6. \]
ОДЗ: \[ x+3\ge 0 \quad\Rightarrow\quad x\ge -3. \]
Возведём обе части в квадрат: \[ x+15+x+3+2\sqrt{(x+15)(x+3)}=36. \]
\[ \sqrt{(x+15)(x+3)}=9-x. \]
Снова возведём в квадрат: \[ (x+15)(x+3)=(9-x)^2. \]
Раскроем скобки: \[ x^2+18x+45=x^2-18x+81. \]
\[ 36x=36, \] \[ x=1. \]
Проверка: \[ \sqrt{1+15}+\sqrt{1+3}=4+2=6. \]
\[ \boxed{x=1} \]
Ещё проще
Самый простой способ:
\[ \sqrt{x+15}+\sqrt{x+3}=6. \]
Обозначим: \[ a=\sqrt{x+15},\qquad b=\sqrt{x+3}. \]
Тогда: \[ a+b=6. \]
Так как подкоренные выражения отличаются на \(12\), то: \[ a^2-b^2=12. \]
\[ (a-b)(a+b)=12. \]
\[ (a-b)\cdot 6=12 \Rightarrow a-b=2. \]
Получаем: \[ a+b=6,\qquad a-b=2. \]
\[ a=4. \]
Значит: \[ \sqrt{x+15}=4, \] \[ x+15=16, \] \[ \boxed{x=1}. \]
Проверка: \(\sqrt{16}+\sqrt4=4+2=6\).
