3,26 (2,3)
Краткий ответ
2) \((x;\,y;\,z)=(2;\,1;\,-1)\).
3) \((x;\,y;\,z)=(1;\,2;\,5)\) или
\[
\left(x;\,y;\,z\right)=\left(-\frac{13}{3};-\frac{10}{3};-\frac13\right).
\]
Решение
2)
\[ \begin{cases} x^2+y^2=5,\\ y-2z=3,\\ x+z=1. \end{cases} \]
Из третьего уравнения:
\[ z=1-x. \]
Подставим во второе:
\[ y-2(1-x)=3, \] \[ y=5-2x. \]
Теперь подставим \(y\) в первое уравнение:
\[ x^2+(5-2x)^2=5, \] \[ x^2+25-20x+4x^2=5, \] \[ 5x^2-20x+20=0, \] \[ x^2-4x+4=0, \] \[ (x-2)^2=0. \]
Значит,
\[ x=2,\qquad y=5-2\cdot2=1,\qquad z=1-2=-1. \]
Проверка:
\[ 2^2+1^2=5,\qquad 1-2(-1)=3,\qquad 2+(-1)=1. \]
3)
\[ \begin{cases} z-x=4,\\ y-z=-3,\\ x^2+y^2+z^2=30. \end{cases} \]
Из первых двух уравнений:
\[ z=x+4, \] \[ y=z-3=x+1. \]
Подставим в третье уравнение:
\[ x^2+(x+1)^2+(x+4)^2=30, \] \[ 3x^2+10x+17=30, \] \[ 3x^2+10x-13=0. \]
Дискриминант:
\[ D=10^2-4\cdot3\cdot(-13)=256, \qquad \sqrt D=16. \]
Тогда
\[ x=\frac{-10\pm16}{6}. \]
Первый корень:
\[ x=1,\qquad y=x+1=2,\qquad z=x+4=5. \]
Получаем:
\[ (x;\,y;\,z)=(1;\,2;\,5). \]
Второй корень:
\[ x=-\frac{13}{3}, \qquad y=x+1=-\frac{10}{3}, \qquad z=x+4=-\frac13. \]
Получаем:
\[ \left(x;\,y;\,z\right)= \left(-\frac{13}{3};-\frac{10}{3};-\frac13\right). \]
Проверка первого решения:
\[ 5-1=4,\qquad 2-5=-3,\qquad 1^2+2^2+5^2=30. \]
Для второго решения сумма квадратов также равна
\[ \frac{169+100+1}{9}=\frac{270}{9}=30. \]
Принцип: сначала используем линейные уравнения, чтобы выразить переменные через одну, а затем подставляем в квадратное уравнение.
Обсуждение
4 сообщения3,26 (2,3) 3.39 (3,4)
Исправляю предыдущий ответ: по фото нужно решить 3.26 (2, 3) и 3.39 (3, 4).
3.26 (2)
\[ \begin{cases} x^8y^6=64,\\ x^6y^8=256. \end{cases} \]
Делим первое уравнение на второе:
\[ \frac{x^2}{y^2}=\frac14. \]
Перемножаем уравнения:
\[ x^{14}y^{14}=64\cdot256=2^{14}, \]
\[ (x^2y^2)^7=2^{14}, \qquad x^2y^2=4. \]
Так как \(x^2=\dfrac{y^2}{4}\), получаем:
\[ \frac{y^4}{4}=4,\qquad y^4=16,\qquad y^2=4. \]
Следовательно,
\[ y=\pm2,\qquad x^2=1,\qquad x=\pm1. \]
Ответ:
\[ (x;y)=(1;2),\ (1;-2),\ (-1;2),\ (-1;-2). \]
3.26 (3)
\[ \begin{cases} x^2y^3=16,\\ x^3y^2=2. \end{cases} \]
Делим первое уравнение на второе:
\[ \frac{y}{x}=8, \qquad y=8x. \]
Перемножаем уравнения:
\[ x^5y^5=32, \qquad (xy)^5=2^5, \qquad xy=2. \]
Подставим \(y=8x\):
\[ 8x^2=2, \qquad x^2=\frac14. \]
Из исходных уравнений \(x>0\) и \(y>0\), поэтому
\[ x=\frac12,\qquad y=4. \]
Ответ:
\[ \boxed{\left(\frac12;4\right)}. \]
3.39 (3)
\[ 15y^2-12y-30>10y+7. \]
Перенесём всё в левую часть:
\[ 15y^2-22y-37>0. \]
Разложим на множители:
\[ (y+1)(15y-37)>0. \]
Нули:
\[ y=-1,\qquad y=\frac{37}{15}. \]
Произведение положительно вне промежутка между корнями:
\[ \boxed{y\in\left(-\infty;-1\right)\cup \left(\frac{37}{15};+\infty\right)}. \]
3.39 (4)
\[ (y+0,6)(y+1,6)(1,2-y)>0. \]
Критические точки:
\[ y=-1,6,\qquad y=-0,6,\qquad y=1,2. \]
Расставляя знаки на промежутках, получаем:
\[ \boxed{y\in(-\infty;-1,6)\cup(-0,6;1,2)}. \]
сделай вот таким как это
Да, оформляю кратко, как на доске.
3.26
2)
\[ \begin{cases} x^8y^6=64,\\ x^6y^8=256. \end{cases} \]
\[ \frac{x^8y^6}{x^6y^8}=\frac{64}{256} \]
\[ \frac{x^2}{y^2}=\frac14 \quad\Rightarrow\quad x^2=\frac{y^2}{4}. \]
\[ x^8y^6\cdot x^6y^8=64\cdot256 \]
\[ x^{14}y^{14}=2^{14} \quad\Rightarrow\quad x^2y^2=4. \]
\[ \frac{y^2}{4}\cdot y^2=4 \]
\[ y^4=16,\qquad y^2=4,\qquad y=\pm2. \]
\[ x^2=1,\qquad x=\pm1. \]
Ответ:
\[ (1;2),\ (1;-2),\ (-1;2),\ (-1;-2). \]
3)
\[ \begin{cases} x^2y^3=16,\\ x^3y^2=2. \end{cases} \]
\[ \frac{x^2y^3}{x^3y^2}=\frac{16}{2} \]
\[ \frac{y}{x}=8 \quad\Rightarrow\quad y=8x. \]
\[ x^2y^3\cdot x^3y^2=16\cdot2 \]
\[ (xy)^5=32 \quad\Rightarrow\quad xy=2. \]
\[ x\cdot8x=2 \]
\[ 8x^2=2,\qquad x^2=\frac14. \]
Так как \(x>0,\ y>0\),
\[ x=\frac12,\qquad y=4. \]
Ответ:
\[ \boxed{\left(\frac12;4\right)}. \]
3.39
3)
\[ 15y^2-12y-30>10y+7 \]
\[ 15y^2-22y-37>0 \]
\[ (y+1)(15y-37)>0 \]
\[ y_1=-1,\qquad y_2=\frac{37}{15}. \]
\[ \begin{array}{c|ccccc} y&(-\infty;-1)&-1&(-1;\frac{37}{15})& \frac{37}{15}&(\frac{37}{15};+\infty)\\ \hline &+&0&-&0&+ \end{array} \]
Ответ:
\[ \boxed{y\in\left(-\infty;-1\right)\cup \left(\frac{37}{15};+\infty\right)}. \]
4)
\[ (y+0,6)(y+1,6)(1,2-y)>0 \]
\[ y_1=-1,6,\qquad y_2=-0,6,\qquad y_3=1,2. \]
\[ \begin{array}{c|ccccccc} y&(-\infty;-1,6)&-1,6&(-1,6;-0,6)&-0,6& (-0,6;1,2)&1,2&(1,2;+\infty)\\ \hline &+&0&-&0&+&0&- \end{array} \]
Ответ:
\[ \boxed{y\in(-\infty;-1,6)\cup(-0,6;1,2)}. \]
