Реши задание на изображении

Решаю подпункты 1 и 3 в каждом номере — по пометке «(1, 3)».

Краткий ответ

1. \(\displaystyle \frac{x^2-x-56}{x-8}=x+7,\quad x\ne8\).
2. \(\displaystyle \frac{2x^2-9x+4}{x-4}=2x-1,\quad x\ne4\).

1. \(\displaystyle \frac{2x^3-3x^2+3x-1}{2x-1}=x^2-x+1,\quad x\ne\frac12\).
2. \(\displaystyle \frac{6x^3-7x^2-6x-1}{3x+1}=2x^2-3x-1,\quad x\ne-\frac13\).

1. Частное: \(\boxed{3x^3-6x+7}\), остаток: \(\boxed{x-1}\).
2. Частное: \(\boxed{4x^4+3x^2-x}\), остаток: \(\boxed{x^2-x}\).

1. \(\boxed{a=-5}\).
2. \(\boxed{a=-26}\).

1. \(\boxed{a=-5,\ b=1,\ c=1}\).
2. В выражении на фото решения нет: при сравнении коэффициентов получается противоречие.

---

Ключевые шаги

1. Деление многочленов

Разложим числители на множители:

\[ x^2-x-56=(x-8)(x+7), \]

поэтому

\[ \frac{x^2-x-56}{x-8}=x+7. \]

Проверка:

\[ (x-8)(x+7)=x^2-x-56. \]

Далее:

\[ 2x^2-9x+4=(2x-1)(x-4), \]

значит

\[ \frac{2x^2-9x+4}{x-4}=2x-1. \]

Проверка:

\[ (x-4)(2x-1)=2x^2-9x+4. \]

---

2. Деление кубических многочленов

\[ 2x^3-3x^2+3x-1=(2x-1)(x^2-x+1), \]

следовательно, частное:

\[ \boxed{x^2-x+1}. \]

Проверка:

\[ (2x-1)(x^2-x+1)=2x^3-3x^2+3x-1. \]

Для третьего подпункта:

\[ 6x^3-7x^2-6x-1=(3x+1)(2x^2-3x-1). \]

Значит,

\[ \boxed{2x^2-3x-1}. \]

---

3. Деление с остатком

Используем формулу:

\[ P(x)=Q(x)\cdot S(x)+R(x), \]

где степень остатка меньше степени делителя.

3.1

\[ P(x)=(2x^2-5x)(3x^3-6x+7)+(x-1). \]

Поэтому:

\[ \boxed{S(x)=3x^3-6x+7},\qquad \boxed{R(x)=x-1}. \]

3.3

\[ P(x)=(x^3-x+1)(4x^4+3x^2-x)+(x^2-x). \]

Следовательно:

\[ \boxed{S(x)=4x^4+3x^2-x},\qquad \boxed{R(x)=x^2-x}. \]

---

4. Делимость на линейный многочлен

Если \(P(x)\) делится на \(x-r\), то

\[ P(r)=0. \]

4.1

Делитель \(3x-5\), его корень:

\[ x=\frac53. \]

Подставим:

\[ 6\left(\frac53\right)^2-7\left(\frac53\right)+a=0, \]

\[ \frac{50}{3}-\frac{35}{3}+a=0, \]

\[ 5+a=0, \]

\[ \boxed{a=-5}. \]

Проверка:

\[ 6x^2-7x-5=(3x-5)(2x+1). \]

4.3

Делитель \(2x-7\), поэтому

\[ x=\frac72. \]

\[ 8\left(\frac72\right)^2+a\cdot\frac72-7=0, \]

\[ 98+\frac{7a}{2}-7=0, \]

\[ 91+\frac{7a}{2}=0, \]

\[ \boxed{a=-26}. \]

Проверка:

\[ 8x^2-26x-7=(2x-7)(4x+1). \]

---

5. Сравнение коэффициентов

5.1

Раскроем скобки:

\[ (x+3)(2x^2+ax+b) =2x^3+(a+6)x^2+(b+3a)x+3b. \]

Сравниваем с

\[ 2x^3+cx^2-14x+3. \]

Получаем систему:

\[ \begin{cases} a+6=c,\\ b+3a=-14,\\ 3b=3. \end{cases} \]

Отсюда:

\[ b=1,\qquad 1+3a=-14, \]

\[ a=-5,\qquad c=a+6=1. \]

Ответ:

\[ \boxed{a=-5,\ b=1,\ c=1}. \]

Проверка:

\[ (x+3)(2x^2-5x+1)=2x^3+x^2-14x+3. \]

5.3

При раскрытии скобок получается:

\[ (x^2+ax+1)(bx^2-x-2) = bx^4+(ab-1)x^3+(b-a-2)x^2+(-2a-1)x-2. \]

Сравниваем с записью на фото:

\[ 2x^4-x^3-x^2+cx-2. \]

Из коэффициента при \(x^4\):

\[ b=2. \]

Из коэффициента при \(x^3\):

\[ ab-1=-1 \Rightarrow ab=0 \Rightarrow a=0. \]

Но тогда коэффициент при \(x^2\):

\[ b-a-2=2-0-2=0, \]

а справа он равен \(-1\). Получается противоречие. Значит, в этом подпункте, вероятно, есть опечатка или один из знаков на фото читается неверно.