Пришли, пожалуйста, изображение ещё раз или перепиши условия пунктов 2 и 4: в текущей переписке самого условия нет, видны только предыдущие ответы.

1. Найдём частное

1)

\[ x^2-x-56=(x-8)(x+7) \]

Следовательно,

\[ \frac{x^2-x-56}{x-8}=x+7. \]

Проверка:

\[ (x-8)(x+7)=x^2-x-56. \]

Ответ: \(\boxed{x+7}\).

---

2)

\[ x^2-3x-54=(x+6)(x-9) \]

\[ \frac{x^2-3x-54}{x+6}=x-9. \]

Проверка:

\[ (x+6)(x-9)=x^2-9x+6x-54=x^2-3x-54. \]

Ответ: \(\boxed{x-9}\).

---

3)

\[ 2x^2-9x+4=2x^2-8x-x+4=(x-4)(2x-1) \]

\[ \frac{2x^2-9x+4}{x-4}=2x-1. \]

Проверка:

\[ (x-4)(2x-1)=2x^2-x-8x+4=2x^2-9x+4. \]

Ответ: \(\boxed{2x-1}\).

---

4)

\[ 3x^2-11x+6=3x^2-9x-2x+6=(x-3)(3x-2) \]

\[ \frac{3x^2-11x+6}{x-3}=3x-2. \]

Проверка:

\[ (x-3)(3x-2)=3x^2-2x-9x+6=3x^2-11x+6. \]

Ответ: \(\boxed{3x-2}\).

---

2. Найдём частное

1)

\[ \frac{2x^3-3x^2+3x-1}{2x-1} \]

Делим:

\[ 2x^3:2x=x^2. \]

\[ (2x-1)x^2=2x^3-x^2. \]

Вычитаем:

\[ (2x^3-3x^2+3x-1)-(2x^3-x^2) =-2x^2+3x-1. \]

Далее:

\[ -2x^2:2x=-x, \]

\[ (2x-1)(-x)=-2x^2+x. \]

Вычитаем:

\[ (-2x^2+3x-1)-(-2x^2+x)=2x-1. \]

\[ (2x-1): (2x-1)=1. \]

Получаем:

\[ \boxed{x^2-x+1}. \]

Проверка:

\[ (2x-1)(x^2-x+1)=2x^3-3x^2+3x-1. \]

---

2)

\[ \frac{2x^3+3x^2-3x-2}{2x+1} \]

\[ 2x^3:2x=x^2. \]

\[ (2x+1)x^2=2x^3+x^2. \]

Остаток:

\[ 2x^2-3x-2. \]

\[ 2x^2:2x=x, \]

\[ (2x+1)x=2x^2+x. \]

Остаток:

\[ -4x-2. \]

\[ (-4x-2):(2x+1)=-2. \]

Значит,

\[ \boxed{x^2+x-2}. \]

Проверка:

\[ (2x+1)(x^2+x-2)=2x^3+3x^2-3x-2. \]

---

3)

\[ \frac{6x^3-7x^2-6x-1}{3x+1} \]

\[ 6x^3:3x=2x^2. \]

\[ (3x+1)2x^2=6x^3+2x^2. \]

Остаток:

\[ -9x^2-6x-1. \]

\[ -9x^2:3x=-3x, \]

\[ (3x+1)(-3x)=-9x^2-3x. \]

Остаток:

\[ -3x-1. \]

\[ (-3x-1):(3x+1)=-1. \]

Следовательно,

\[ \boxed{2x^2-3x-1}. \]

Проверка:

\[ (3x+1)(2x^2-3x-1)=6x^3-7x^2-6x-1. \]

---

4)

\[ \frac{6x^3+4x^2-11x+3}{3x-1} \]

\[ 6x^3:3x=2x^2. \]

\[ (3x-1)2x^2=6x^3-2x^2. \]

Остаток:

\[ 6x^2-11x+3. \]

\[ 6x^2:3x=2x, \]

\[ (3x-1)2x=6x^2-2x. \]

Остаток:

\[ -9x+3. \]

\[ (-9x+3):(3x-1)=-3. \]

Получаем:

\[ \boxed{2x^2+2x-3}. \]

Проверка:

\[ (3x-1)(2x^2+2x-3)=6x^3+4x^2-11x+3. \]

---

3. Найдём частное и остаток

1)

\[ P(x)=6x^5-15x^4-12x^3+44x^2-34x-1, \]

\[ Q(x)=2x^2-5x. \]

Деление:

\[ 6x^5:2x^2=3x^3. \]

После вычитания остаётся:

\[ -12x^3+44x^2-34x-1. \]

\[ -12x^3:2x^2=-6x. \]

После вычитания:

\[ 14x^2-34x-1. \]

\[ 14x^2:2x^2=7. \]

Остаток:

\[ x-1. \]

Значит,

\[ \boxed{q(x)=3x^3-6x+7}, \qquad \boxed{r(x)=x-1}. \]

Проверка:

\[ \begin{aligned} (2x^2-5x)(3x^3-6x+7)+(x-1) &=6x^5-15x^4-12x^3\\ &\quad+44x^2-34x-1. \end{aligned} \]

---

2)

\[ P(x)=6x^5-8x^4+15x^3-41x^2+27x+2, \]

\[ Q(x)=3x^2-4x. \]

\[ 6x^5:3x^2=2x^3. \]

После вычитания:

\[ 15x^3-41x^2+27x+2. \]

\[ 15x^3:3x^2=5x. \]

После вычитания:

\[ -21x^2+27x+2. \]

\[ -21x^2:3x^2=-7. \]

Остаток:

\[ -x+2. \]

Следовательно,

\[ \boxed{q(x)=2x^3+5x-7}, \qquad \boxed{r(x)=-x+2}. \]

Проверка:

\[ (3x^2-4x)(2x^3+5x-7)-x+2 =6x^5-8x^4+15x^3-41x^2+27x+2. \]

---

3)

\[ P(x)=4x^6-4x^5+7x^4-4x^3+5x^2-2x, \]

\[ Q(x)=x^2-x+1. \]

\[ 4x^6:x^2=4x^4. \]

После вычитания:

\[ 3x^4-4x^3+5x^2-2x. \]

\[ 3x^4:x^2=3x^2. \]

После вычитания:

\[ -x^3+2x^2-2x. \]

\[ -x^3:x^2=-x. \]

Остаток:

\[ x^2-x. \]

Поэтому

\[ \boxed{q(x)=4x^4+3x^2-x}, \qquad \boxed{r(x)=x^2-x}. \]

Проверка:

\[ \begin{aligned} (x^2-x+1)(4x^4+3x^2-x)+(x^2-x) &=4x^6-4x^5+7x^4\\ &\quad-4x^3+5x^2-2x. \end{aligned} \]

---

4)

\[ P(x)=3x^7-10x^5+4x^4+8x^3-5x^2+x-1, \]

\[ Q(x)=x^3-2x+1. \]

\[ 3x^7:x^3=3x^4. \]

После вычитания:

\[ -4x^5+x^4+8x^3-5x^2+x-1. \]

\[ -4x^5:x^3=-4x^2. \]

После вычитания:

\[ x^4-x^2+x-1. \]

\[ x^4:x^3=x. \]

Остаток:

\[ x^2-1. \]

Следовательно,

\[ \boxed{q(x)=3x^4-4x^2+x}, \qquad \boxed{r(x)=x^2-1}. \]

---

4. Найдём \(a\)

Если многочлен \(P(x)\) делится на линейный многочлен \(Q(x)\), то значение \(P(x)\) в корне \(Q(x)\) равно нулю.

1)

\[ Q(x)=3x-5=0 \Rightarrow x=\frac53. \]

\[ P\left(\frac53\right) =6\cdot\frac{25}{9}-7\cdot\frac53+a =\frac{50}{3}-\frac{35}{3}+a =5+a. \]

\[ 5+a=0 \Rightarrow \boxed{a=-5}. \]

---

2)

\[ 3x-2=0 \Rightarrow x=\frac23. \]

\[ P\left(\frac23\right) =12\cdot\frac49-5\cdot\frac23+a =\frac{16}{3}-\frac{10}{3}+a =2+a. \]

\[ 2+a=0 \Rightarrow \boxed{a=-2}. \]

---

3)

\[ 2x-7=0 \Rightarrow x=\frac72. \]

\[ P\left(\frac72\right) =8\cdot\frac{49}{4}+a\cdot\frac72-7 =98+\frac{7a}{2}-7 =91+\frac{7a}{2}. \]

\[ 91+\frac{7a}{2}=0. \]

Умножим на \(2\):

\[ 182+7a=0 \Rightarrow \boxed{a=-26}. \]

---

4)

\[ 3x+5=0 \Rightarrow x=-\frac53. \]

\[ P\left(-\frac53\right) =9\cdot\frac{25}{9}-\frac{5a}{3}-5 =25-5-\frac{5a}{3} =20-\frac{5a}{3}. \]

\[ 20-\frac{5a}{3}=0. \]

\[ 60-5a=0 \Rightarrow \boxed{a=12}. \]

---

5)

Корень делителя тот же:

\[ x=-\frac53. \]

\[ P\left(-\frac53\right) =25-\frac{5a}{3}-10 =15-\frac{5a}{3}. \]

\[ 15-\frac{5a}{3}=0 \Rightarrow 45-5a=0 \Rightarrow \boxed{a=9}. \]

---

6)

\[ 4x-3=0 \Rightarrow x=\frac34. \]

\[ P\left(\frac34\right) =8\cdot\frac{9}{16}+a\cdot\frac34-15 =\frac92+\frac{3a}{4}-15 =-\frac{21}{2}+\frac{3a}{4}. \]

\[ -\frac{21}{2}+\frac{3a}{4}=0. \]

Умножим на \(4\):

\[ -42+3a=0 \Rightarrow \boxed{a=14}. \]

---

5. Найдём \(a,b,c\)

1)

\[ (x+3)(2x^2+ax+b) \]

Раскроем скобки:

\[ 2x^3+ax^2+bx+6x^2+3ax+3b. \]

\[ =2x^3+(a+6)x^2+(b+3a)x+3b. \]

Сравниваем с

\[ 2x^3+cx^2-14x+3. \]

Получаем систему:

\[ \begin{cases} a+6=c,\\ b+3a=-14,\\ 3b=3. \end{cases} \]

Из третьего уравнения:

\[ b=1. \]

Тогда:

\[ 1+3a=-14 \Rightarrow 3a=-15 \Rightarrow a=-5. \]

\[ c=a+6=-5+6=1. \]

Ответ:

\[ \boxed{a=-5,\quad b=1,\quad c=1}. \]

---

2)

\[ (x-2)(4x^2+ax+b) \]

Раскрываем скобки:

\[ 4x^3+ax^2+bx-8x^2-2ax-2b. \]

\[ =4x^3+(a-8)x^2+(b-2a)x-2b. \]

Сравниваем с

\[ 4x^3-5x^2+cx+4. \]

Получаем:

\[ \begin{cases} a-8=-5,\\ b-2a=c,\\ -2b=4. \end{cases} \]

\[ a=3,\qquad b=-2. \]

\[ c=b-2a=-2-6=-8. \]

Ответ:

\[ \boxed{a=3,\quad b=-2,\quad c=-8}. \]

---

3)

\[ (x^2+ax+1)(bx^2-x-2) \]

Раскрываем скобки:

\[ \begin{aligned} (x^2+ax+1)(bx^2-x-2) &=bx^4-x^3-2x^2\\ &\quad+abx^3-ax^2-2ax\\ &\quad+bx^2-x-2. \end{aligned} \]

Соберём подобные слагаемые:

\[ bx^4+(ab-1)x^3+(b-a-2)x^2+(-2a-1)x-2. \]

Сравниваем с

\[ 2x^4+x^3-x^2+cx-2. \]

Получаем:

\[ \begin{cases} b=2,\\ ab-1=1,\\ b-a-2=-1,\\ -2a-1=c. \end{cases} \]

Из \(b=2\):

\[ 2a-1=1 \Rightarrow 2a=2 \Rightarrow a=1. \]

\[ c=-2\cdot1-1=-3. \]

Проверка коэффициента при \(x^2\):

\[ b-a-2=2-1-2=-1. \]

Ответ:

\[ \boxed{a=1,\quad b=2,\quad c=-3}. \]

---

4)

\[ (x^2+ax+2)(bx^2-x+4) \]

Раскрываем скобки:

\[ \begin{aligned} (x^2+ax+2)(bx^2-x+4) &=bx^4-x^3+4x^2\\ &\quad+abx^3-ax^2+4ax\\ &\quad+2bx^2-2x+8. \end{aligned} \]

Собираем подобные:

\[ bx^4+(ab-1)x^3+(4-a+2b)x^2+(4a-2)x+8. \]

Сравниваем с

\[ 2x^4+cx^3+11x^2-14x+8. \]

Получаем:

\[ \begin{cases} b=2,\\ 4-a+2b=11,\\ 4a-2=-14,\\ c=ab-1. \end{cases} \]

Подставим \(b=2\):

\[ 4-a+4=11, \]

\[ 8-a=11 \Rightarrow a=-3. \]

Проверим коэффициент при \(x\):

\[ 4a-2=4\cdot(-3)-2=-12-2=-14. \]

Теперь найдём \(c\):

\[ c=ab-1=(-3)\cdot2-1=-7. \]

Ответ:

\[ \boxed{a=-3,\quad b=2,\quad c=-7}. \]