111

Краткий ответ:

1. Сторона квадрата — 10 дм.
2. Велосипедист ехал со скоростью 24 км/ч.
3. Через 18 лет Галя будет в 2 раза младше мамы.

1) Квадрат и прямоугольник

Пусть сторона квадрата — \(x\) дм.

После изменения стороны прямоугольник имеет размеры:

\[ x+4 \quad \text{и} \quad x-6. \]

По условию его площадь равна \(56\text{ дм}^2\):

\[ (x+4)(x-6)=56. \]

Раскроем скобки:

\[ x^2-2x-24=56, \]

\[ x^2-2x-80=0. \]

Разложим на множители:

\[ (x-10)(x+8)=0. \]

Сторона не может быть отрицательной, поэтому \(x=10\).

Проверка:

\[ (10+4)(10-6)=14\cdot4=56\text{ дм}^2. \]

2) Скорость велосипедиста

Пусть фактическая скорость велосипедиста — \(x\) км/ч. Тогда предполагаемая скорость была \(x+6\) км/ч.

Время движения вычисляется по формуле:

\[ t=\frac{s}{v}. \]

По условию фактическое время на 1 час больше предполагаемого:

\[ \frac{120}{x}=\frac{120}{x+6}+1. \]

Решаем уравнение:

\[ 120(x+6)=120x+x(x+6), \]

\[ 120x+720=120x+x^2+6x, \]

\[ x^2+6x-720=0. \]

\[ (x-24)(x+30)=0. \]

Скорость не может быть отрицательной, значит:

\[ x=24\text{ км/ч}. \]

Проверка: фактическое время \(120:24=5\) ч, предполагаемое \(120:30=4\) ч. Разница — 1 час.

3) Возраст Гали и мамы

Пусть через \(x\) лет Галя будет в 2 раза младше мамы.

Тогда Гале будет \(8+x\) лет, а маме — \(34+x\) лет.

Составим уравнение:

\[ 34+x=2(8+x). \]

\[ 34+x=16+2x, \]

\[ x=18. \]

Проверка: через 18 лет Гале будет 26 лет, маме — 52 года:

\[ 52=2\cdot26. \]