6,4

Краткий ответ

В упражнении 6.4 нужно построить графики функций:

1. \(y=-2(x+1)^2+3\);
2. \(y=4-\sqrt{2-x}\);
3. \(y=-3\sqrt{2-x}+2\).

---

1) \(y=-2(x+1)^2+3\)

Основа — график \(y=x^2\).

Преобразования:

1. \(x+1\) — сдвиг графика на \(1\) влево;
2. множитель \(-2\) — отражение относительно оси \(Ox\) и растяжение в \(2\) раза;
3. \(+3\) — сдвиг вверх на \(3\).

График — парабола с вершиной

\[ (-1;3), \]

ветви направлены вниз, ось симметрии:

\[ x=-1. \]

Удобные точки:

\[ \begin{array}{c|ccccc} x&-3&-2&-1&0&1\\ \hline y&-5&1&3&1&-5 \end{array} \]

Область определения:

\[ D(y)=\mathbb R, \]

множество значений:

\[ E(y)=(-\infty;3]. \]

---

2) \(y=4-\sqrt{2-x}\)

Основа — график \(y=\sqrt{x}\).

Преобразования:

1. \(2-x\) — график отражается относительно оси \(Oy\) и сдвигается вправо на \(2\);
2. знак «минус» перед корнем — отражение относительно оси \(Ox\);
3. \(+4\) — сдвиг вверх на \(4\).

Начальная точка графика:

\[ (2;4), \]

так как при \(x=2\)

\[ y=4-\sqrt{2-2}=4. \]

Точки для построения:

\[ \begin{array}{c|cccc} x&2&1&-2&-7\\ \hline y&4&3&2&1 \end{array} \]

График идёт влево и вниз.

Область определения:

\[ 2-x\ge 0 \quad\Rightarrow\quad x\le 2, \]

то есть

\[ D(y)=(-\infty;2]. \]

Множество значений:

\[ E(y)=(-\infty;4]. \]

Проверка: пересечение с осью \(Ox\):

\[ 4-\sqrt{2-x}=0 \]

\[ \sqrt{2-x}=4 \]

\[ x=-14. \]

Точка пересечения с \(Ox\): \((-14;0)\).

---

3) \(y=-3\sqrt{2-x}+2\)

Преобразования относительно \(y=\sqrt{x}\):

1. \(2-x\) — отражение относительно оси \(Oy\) и сдвиг вправо на \(2\);
2. множитель \(-3\) — отражение относительно оси \(Ox\) и растяжение в \(3\) раза;
3. \(+2\) — сдвиг вверх на \(2\).

Начальная точка:

\[ (2;2). \]

Точки для построения:

\[ \begin{array}{c|cccc} x&2&1&-2&-7\\ \hline y&2&-1&-4&-7 \end{array} \]

График также направлен влево и вниз.

Область определения:

\[ D(y)=(-\infty;2]. \]

Множество значений:

\[ E(y)=(-\infty;2]. \]

Проверка пересечения с осью \(Ox\):

\[ -3\sqrt{2-x}+2=0 \]

\[ \sqrt{2-x}=\frac23 \]

\[ 2-x=\frac49, \]

\[ x=\frac{14}{9}. \]

Точка пересечения с \(Ox\):

\[ \left(\frac{14}{9};0\right). \]

Главный принцип: для корневых графиков сначала находят конечную точку, подставляя подкоренное выражение, равное нулю, а затем берут значения корня \(0,1,2,3\).