1.34
Краткий ответ:
\(\boxed{(x;y)=(4;9),\ (9;4)}\).
\(\boxed{(x;y)=\left(10+4\sqrt6;\ 10-4\sqrt6\right)}\).
1) \(\begin{cases}xy=36,\\ \sqrt{x}+\sqrt{y}=5.\end{cases}\)
Так как под корнями стоят \(x\) и \(y\), введём:
\[ a=\sqrt{x},\qquad b=\sqrt{y},\qquad a,b\ge 0. \]
Тогда \(x=a^2,\ y=b^2\), а система принимает вид:
\[ \begin{cases} a^2b^2=36,\\ a+b=5. \end{cases} \]
Поскольку \(a,b\ge0\), из \(a^2b^2=36\) получаем:
\[ ab=6. \]
Числа \(a\) и \(b\) имеют сумму \(5\) и произведение \(6\), значит:
\[ a,b=2,\ 3. \]
Следовательно:
- \(a=2,\ b=3\Rightarrow x=4,\ y=9\);
- \(a=3,\ b=2\Rightarrow x=9,\ y=4\).
Проверка: \(4\cdot9=36\), \(\sqrt4+\sqrt9=2+3=5\).
2) \(\begin{cases}\sqrt{x}-\sqrt{y}=2\sqrt{xy},\\x+y=20.\end{cases}\)
Положим:
\[ a=\sqrt{x},\qquad b=\sqrt{y},\qquad a,b\ge0. \]
Тогда:
\[ \sqrt{xy}=ab,\qquad x+y=a^2+b^2. \]
Получаем:
\[ \begin{cases} a-b=2ab,\\ a^2+b^2=20. \end{cases} \]
Обозначим \(p=ab\). Тогда \(a-b=2p\). Возведём в квадрат:
\[ (a-b)^2=4p^2. \]
С другой стороны,
\[ (a-b)^2=a^2+b^2-2ab=20-2p. \]
Значит:
\[ 4p^2=20-2p, \]
\[ 2p^2+p-10=0. \]
Решаем:
\[ p=\frac{-1\pm9}{4}. \]
Так как \(p=ab\ge0\), подходит только:
\[ p=2. \]
Тогда:
\[ a-b=2ab=4. \]
Найдём сумму \(a+b\):
\[ (a+b)^2=a^2+b^2+2ab=20+4=24, \]
\[ a+b=2\sqrt6. \]
Отсюда:
\[ a=\frac{(a+b)+(a-b)}2=\sqrt6+2, \]
\[ b=\frac{(a+b)-(a-b)}2=\sqrt6-2. \]
Возвращаемся к \(x\) и \(y\):
\[ x=a^2=(\sqrt6+2)^2=10+4\sqrt6, \]
\[ y=b^2=(\sqrt6-2)^2=10-4\sqrt6. \]
Проверка:
\[ x+y=20,\qquad xy=(10+4\sqrt6)(10-4\sqrt6)=4, \]
\[ \sqrt{x}-\sqrt{y}=(\sqrt6+2)-(\sqrt6-2)=4, \]
\[ 2\sqrt{xy}=2\sqrt4=4. \]
Обсуждение
4 сообщенияБез слов просто решение и ответ
\[ \begin{aligned} &\text{1)}\quad a=\sqrt{x},\ b=\sqrt{y}\\ &a+b=5,\quad ab=6\\ &a,b=2,3\\ &(x;y)=(4;9),\ (9;4) \end{aligned} \]
\[ \boxed{(4;9),\ (9;4)} \]
\[ \begin{aligned} &\text{2)}\quad a=\sqrt{x},\ b=\sqrt{y}\\ &a-b=2ab,\quad a^2+b^2=20\\ &4a^2b^2=20-2ab\\ &2(ab)^2+ab-10=0\\ &ab=2\\ &a-b=4\\ &(a+b)^2=20+4=24\\ &a+b=2\sqrt6\\ &a=\sqrt6+2,\quad b=\sqrt6-2\\ &x=10+4\sqrt6,\quad y=10-4\sqrt6 \end{aligned} \]
\[ \boxed{(x;y)=\left(10+4\sqrt6;\,10-4\sqrt6\right)} \]
Нет с начала уравнение и решение и ответ
\[ \text{1)}\quad \begin{cases} xy=36,\\ \sqrt{x}+\sqrt{y}=5. \end{cases} \]
\[ a=\sqrt{x},\qquad b=\sqrt{y} \]
\[ \begin{cases} a^2b^2=36,\\ a+b=5 \end{cases} \Longrightarrow \begin{cases} ab=6,\\ a+b=5 \end{cases} \]
\[ t^2-5t+6=0 \]
\[ t_1=2,\qquad t_2=3 \]
\[ \begin{aligned} &a=2,\ b=3:\quad x=4,\ y=9;\\ &a=3,\ b=2:\quad x=9,\ y=4. \end{aligned} \]
\[ \boxed{(x;y)=(4;9),\ (9;4)} \]
\[ \text{2)}\quad \begin{cases} \sqrt{x}-\sqrt{y}=2\sqrt{xy},\\ x+y=20. \end{cases} \]
\[ a=\sqrt{x},\qquad b=\sqrt{y} \]
\[ \begin{cases} a-b=2ab,\\ a^2+b^2=20 \end{cases} \]
\[ (a-b)^2=4a^2b^2 \]
\[ 20-2ab=4a^2b^2 \]
\[ 2(ab)^2+ab-10=0 \]
\[ ab=2 \]
\[ a-b=4 \]
\[ (a+b)^2=a^2+b^2+2ab=20+4=24 \]
\[ a+b=2\sqrt6 \]
\[ a=\sqrt6+2,\qquad b=\sqrt6-2 \]
\[ x=(\sqrt6+2)^2=10+4\sqrt6 \]
\[ y=(\sqrt6-2)^2=10-4\sqrt6 \]
\[ \boxed{(x;y)=\left(10+4\sqrt6;\,10-4\sqrt6\right)} \]
