С 87

Краткий ответ для № 87:

1. \(\boxed{-a}\);

2. \(\boxed{2y}\);

3. \(\boxed{-\dfrac{3\sqrt[3]{ab}}{a+b}}\);

4. \(\boxed{2\sqrt[3]{b}}\).

Ключевой принцип

Используем замены и формулы разности квадратов и кубов:

\[ u^2-v^2=(u-v)(u+v), \]

\[ u^3+v^3=(u+v)(u^2-uv+v^2), \]

\[ u^3-v^3=(u-v)(u^2+uv+v^2). \]

1)

Пусть \(u=\sqrt a,\ v=\sqrt b\). Тогда:

\[ a^{\frac32}=u^3,\qquad ab^{\frac12}=u^2v,\qquad a-b=u^2-v^2. \]

Получаем:

\[ \frac{u^3}{u+v}-\frac{u^2v}{v-u} -\frac{2u^4}{u^2-v^2}. \]

Так как \(-\dfrac{u^2v}{v-u}=\dfrac{u^2v}{u-v}\), приводим к общему знаменателю:

\[ \frac{u^3(u-v)+u^2v(u+v)-2u^4}{(u-v)(u+v)}. \]

Числитель:

\[ u^4-u^3v+u^3v+u^2v^2-2u^4 =-u^4+u^2v^2=-u^2(u^2-v^2). \]

Следовательно,

\[ \frac{-u^2(u^2-v^2)}{u^2-v^2}=-u^2=-a. \]

2)

Пусть \(u=\sqrt x,\ v=\sqrt y\). Тогда \(x=u^2,\ y=v^2\):

\[ \frac{3u^2v^2-v^4}{u^2-v^2} -\frac{v^3}{u-v}-\frac{uv^2}{u+v}. \]

Общий знаменатель:

\[ (u-v)(u+v)=u^2-v^2. \]

Числитель после приведения:

\[ 3u^2v^2-v^4-v^3(u+v)-uv^2(u-v) =2v^2(u^2-v^2). \]

Поэтому

\[ \frac{2v^2(u^2-v^2)}{u^2-v^2} =2v^2=2y. \]

3)

Пусть \(u=\sqrt[3]{a},\ v=\sqrt[3]{b}\). Тогда:

\[ a^{\frac23}=u^2,\qquad b^{\frac23}=v^2,\qquad \sqrt[3]{ab}=uv. \]

Выражение принимает вид:

\[ \frac1{u+v}-\frac{u+v}{u^2-uv+v^2}. \]

Приводим к общему знаменателю:

\[ \frac{u^2-uv+v^2-(u+v)^2} {(u+v)(u^2-uv+v^2)}. \]

Используем формулу суммы кубов:

\[ (u+v)(u^2-uv+v^2)=u^3+v^3=a+b. \]

Числитель:

\[ u^2-uv+v^2-u^2-2uv-v^2=-3uv. \]

Значит,

\[ -\frac{3uv}{a+b} =-\frac{3\sqrt[3]{ab}}{a+b}. \]

4)

\[ \frac{\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{b^2}} {\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}} -\frac{a-b}{a^{\frac23}+\sqrt[3]{ab}+b^{\frac23}}. \]

После замены \(u=\sqrt[3]{a},\ v=\sqrt[3]{b}\):

\[ \frac{u^2-v^2}{u-v} -\frac{u^3-v^3}{u^2+uv+v^2}. \]

По формулам разности квадратов и кубов:

\[ \frac{u^2-v^2}{u-v}=u+v, \]

\[ \frac{u^3-v^3}{u^2+uv+v^2}=u-v. \]

Тогда:

\[ (u+v)-(u-v)=2v=2\sqrt[3]{b}. \]

Все преобразования верны при допустимых значениях переменных, когда исходные знаменатели не равны нулю.