1.35
Краткий ответ (все действительные решения):
\((1;0)\), \((0;1)\).
\((3;1)\), \((-3;-1)\), \((2\sqrt2;\sqrt2)\), \((-2\sqrt2;-\sqrt2)\).
\((2;0)\), \((0;-2)\).
1)
Используем формулу:
\[ x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y). \]
Так как \(x+y=1\), то
\[ 1=1^3-3xy\cdot1, \]
\[ 3xy=0 \quad\Rightarrow\quad xy=0. \]
Значит, \(x=0\) или \(y=0\).
- Если \(x=0\), то \(y=1\);
- если \(y=0\), то \(x=1\).
Ответ:
\[ \boxed{(1;0),\ (0;1)}. \]
2)
Разложим левые части:
\[ x^2+xy=x(x+y),\qquad xy-y^2=y(x-y). \]
Из второго уравнения \(y\neq0\). Обозначим
\[ t=\frac{x}{y}. \]
Тогда
\[ x^2+xy=y^2(t^2+t), \]
\[ xy-y^2=y^2(t-1). \]
Делим первое уравнение на второе:
\[ \frac{t(t+1)}{t-1}=\frac{12}{2}=6. \]
Получаем:
\[ t^2+t=6t-6, \]
\[ t^2-5t+6=0, \]
\[ (t-2)(t-3)=0. \]
Если \(t=2\), то \(x=2y\):
\[ y(x-y)=y^2=2, \]
\[ y=\pm\sqrt2,\qquad x=\pm2\sqrt2. \]
Получаем:
\[ (2\sqrt2;\sqrt2),\quad(-2\sqrt2;-\sqrt2). \]
Если \(t=3\), то \(x=3y\):
\[ y(x-y)=2y^2=2, \]
\[ y=\pm1,\qquad x=\pm3. \]
Получаем:
\[ (3;1),\quad(-3;-1). \]
3)
Используем формулу разности кубов:
\[ x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2). \]
Так как \(x-y=2\), имеем:
\[ 2(x^2+xy+y^2)=8, \]
\[ x^2+xy+y^2=4. \]
Из \(x-y=2\):
\[ x=y+2. \]
Подставим:
\[ (y+2)^2+y(y+2)+y^2=4, \]
\[ 3y^2+6y+4=4, \]
\[ 3y(y+2)=0. \]
Отсюда:
- \(y=0\), тогда \(x=2\);
- \(y=-2\), тогда \(x=0\).
Ответ:
\[ \boxed{(2;0),\ (0;-2)}. \]
Проверка: во всех найденных парах выполняются исходные суммы и разности, а в пункте 3 разность кубов автоматически равна \(2\cdot4=8\).
Обсуждение
2 сообщенияБез слов просто уравнение решение и ответ
\[ 1)\quad \begin{cases} x+y=1,\\ x^3+y^3=1 \end{cases} \]
\[ x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y) \]
\[ 1=1-3xy \]
\[ xy=0 \]
\[ \boxed{(1;0),\ (0;1)} \]
\[ 2)\quad \begin{cases} x^2+xy=12,\\ xy-y^2=2 \end{cases} \]
\[ t=\frac{x}{y} \]
\[ \frac{t^2+t}{t-1}=6 \]
\[ t^2-5t+6=0 \]
\[ (t-2)(t-3)=0 \]
\[ t=2:\quad y^2=2,\quad y=\pm\sqrt2,\quad x=\pm2\sqrt2 \]
\[ t=3:\quad 2y^2=2,\quad y=\pm1,\quad x=\pm3 \]
\[ \boxed{(3;1),\ (-3;-1),\ (2\sqrt2;\sqrt2),\ (-2\sqrt2;-\sqrt2)} \]
\[ 3)\quad \begin{cases} x-y=2,\\ x^3-y^3=8 \end{cases} \]
\[ x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2) \]
\[ 2(x^2+xy+y^2)=8 \]
\[ x^2+xy+y^2=4 \]
\[ x=y+2 \]
\[ (y+2)^2+y(y+2)+y^2=4 \]
\[ 3y^2+6y=0 \]
\[ y=0\quad\text{или}\quad y=-2 \]
\[ \boxed{(2;0),\ (0;-2)} \]
