Решить 41 и 44 номер

Краткий ответ

41.

1. \(ab\); 2) \(3x\); 3) \(\dfrac{3x}{y}\); 4) \(\dfrac{2b}{a}\).

44.

1. \(x^2\); 2) \(y^2\); 3) \(a^3b^2\); 4) \(a^8b^9\); 5) \(a^2b\); 6) \(3a\).

Решение

Используем свойства:

\[ \frac{\sqrt[n]{A}}{\sqrt[n]{B}}=\sqrt[n]{\frac AB}, \qquad \left(\sqrt[n]{A}\right)^n=A. \]

Номер 41

1. \[ \sqrt[5]{a^6b^7}:\sqrt[5]{ab^2} =\sqrt[5]{\frac{a^6b^7}{ab^2}} =\sqrt[5]{a^5b^5} =\sqrt[5]{(ab)^5} =ab. \]

2. \[ \sqrt[3]{81x^4y}:\sqrt[3]{3xy} =\sqrt[3]{\frac{81x^4y}{3xy}} =\sqrt[3]{27x^3} =3x. \]

3. \[ \sqrt[3]{\frac{3x}{y^2}}:\sqrt[3]{\frac{y}{9x^2}} = \sqrt[3]{\frac{3x}{y^2}\cdot\frac{9x^2}{y}} = \sqrt[3]{\frac{27x^3}{y^3}} = \frac{3x}{y}. \]

4. \[ \sqrt[4]{\frac{2b}{a^3}}:\sqrt[4]{\frac{a}{8b^3}} = \sqrt[4]{\frac{2b}{a^3}\cdot\frac{8b^3}{a}} = \sqrt[4]{\frac{16b^4}{a^4}} = 2\left|\frac ba\right|. \]

На области допустимых значений \(a\) и \(b\) имеют одинаковый знак, поэтому

\[ 2\left|\frac ba\right|=\frac{2b}{a}. \]

Номер 44

1. \[ \left(\sqrt[3]{x}\right)^6 = \left(\left(\sqrt[3]{x}\right)^3\right)^2 =x^2. \]

2. \[ \left(\sqrt[3]{y^2}\right)^3=y^2. \]

3. \[ \left(\sqrt a\cdot\sqrt[3]{b}\right)^6 =(\sqrt a)^6\left(\sqrt[3]{b}\right)^6 =a^3b^2. \]

4. \[ \left(\sqrt[3]{a^2}\cdot\sqrt[4]{b^3}\right)^{12} = \left(\sqrt[3]{a^2}\right)^{12} \left(\sqrt[4]{b^3}\right)^{12} \]

\[ =(a^2)^4(b^3)^3 =a^8b^9. \]

5. Обозначим \(u=\sqrt[3]{a^2b}\). Тогда:

\[ \left(\sqrt{\sqrt[3]{a^2b}}\right)^6 =(\sqrt u)^6 =u^3 =\left(\sqrt[3]{a^2b}\right)^3 =a^2b. \]

6. Обозначим

\[ t=\sqrt[3]{\sqrt[4]{27a^3}}. \]

Тогда \(t^{12}=27a^3\), поэтому

\[ t^4=\sqrt[3]{27a^3}=3a. \]

Следовательно,

\[ \left(\sqrt[3]{\sqrt[4]{27a^3}}\right)^4=3a. \]

Все преобразования верны при тех значениях переменных, при которых исходные выражения имеют смысл.