7 задание
Решение задачи об угловой скорости
Для точки на ободе:
\[ v_1 = 2\ \text{м/с} \]
Для второй точки, расположенной на 10 см ближе к оси:
\[ v_2 = 1\ \text{м/с} \]
Для вращающегося твёрдого колеса все точки имеют одинаковую угловую скорость. Используем связь:
\[ v=\omega r \]
Из условия следует, что радиус второй точки вдвое меньше радиуса обода, поэтому:
\[ \omega=\frac{v_1}{r_1}=\frac{v_2}{r_2}=10\ \text{рад/с} \]
Частота вращения:
\[ f=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{10}{2\pi}=\frac{5}{\pi}\ \text{Гц}\approx1{,}59\ \text{Гц} \]
Период вращения:
\[ T=\frac{1}{f}=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{10}\approx0{,}628\ \text{с} \]
Ответ:
\[ \boxed{\omega=10\ \text{рад/с}},\qquad \boxed{f\approx1{,}59\ \text{Гц}},\qquad \boxed{T\approx0{,}628\ \text{с}} \]
Краткий ответ:
\[ \omega_1=\omega_2=10\ \text{рад/с}, \]
\[ \nu_1=\nu_2=\frac{5}{\pi}\approx1{,}59\ \text{Гц}, \]
\[ T_1=T_2=\frac{\pi}{5}\approx0{,}63\ \text{с}. \]
Решение
Для вращательного движения:
\[ v=\omega R. \]
Точки колеса имеют одинаковую угловую скорость, поэтому их линейные скорости пропорциональны расстояниям до оси:
\[ \frac{R_1}{R_2}=\frac{v_1}{v_2}=\frac{2}{1}=2. \]
Пусть расстояние до оси внутренней точки равно \(R_2\). Тогда радиус точки на ободе:
\[ R_1=2R_2. \]
По условию:
\[ R_1-R_2=10\text{ см}=0{,}1\text{ м}. \]
Значит,
\[ 2R_2-R_2=0{,}1, \qquad R_2=0{,}1\text{ м}, \]
\[ R_1=0{,}2\text{ м}. \]
Найдём угловую скорость:
\[ \omega=\frac{v_1}{R_1}=\frac{2}{0{,}2}=10\ \text{рад/с}. \]
Проверка по второй точке:
\[ \omega=\frac{v_2}{R_2}=\frac{1}{0{,}1}=10\ \text{рад/с}. \]
Частота вращения:
\[ \nu=\frac{\omega}{2\pi} =\frac{10}{2\pi} =\frac{5}{\pi}\approx1{,}59\ \text{Гц}. \]
Период:
\[ T=\frac{1}{\nu}=\frac{2\pi}{\omega} =\frac{2\pi}{10} =\frac{\pi}{5}\approx0{,}63\ \text{с}. \]
Принцип: у всех точек одного вращающегося колеса одинаковы угловая скорость, частота и период, но линейная скорость больше у точки, расположенной дальше от оси.
