31 номер

Краткий ответ:

\[ \begin{aligned} \text{а)}\quad &\frac{3a+12b}{6ab}=\frac{a+4b}{2ab}, \quad a\ne0,\ b\ne0;\\[2mm] \text{б)}\quad &\frac{15b-20c}{10b}=\frac{3b-4c}{2b}, \quad b\ne0;\\[2mm] \text{в)}\quad &\frac{2a-4}{3(a-2)}=\frac23, \quad a\ne2;\\[2mm] \text{г)}\quad &\frac{5x(y+2)}{6y+12}=\frac{5x}{6}, \quad y\ne-2;\\[2mm] \text{д)}\quad &\frac{a-3b}{a^2-3ab}=\frac1a, \quad a\ne0,\ a-3b\ne0;\\[2mm] \text{е)}\quad &\frac{3x^2+15xy}{x+5y}=3x, \quad x+5y\ne0. \end{aligned} \]

Ключевые шаги

Сначала раскладываем числитель и знаменатель на множители, затем сокращаем одинаковые множители:

а)
\[ 3a+12b=3(a+4b),\qquad 6ab=3\cdot2ab. \] \[ \frac{3(a+4b)}{3\cdot2ab}=\frac{a+4b}{2ab}. \]

б)
\[ 15b-20c=5(3b-4c),\qquad 10b=5\cdot2b. \] \[ \frac{5(3b-4c)}{5\cdot2b}=\frac{3b-4c}{2b}. \]

в)
\[ 2a-4=2(a-2). \] \[ \frac{2(a-2)}{3(a-2)}=\frac23. \]

г)
\[ 6y+12=6(y+2). \] \[ \frac{5x(y+2)}{6(y+2)}=\frac{5x}{6}. \]

д)
\[ a^2-3ab=a(a-3b). \] \[ \frac{a-3b}{a(a-3b)}=\frac1a. \]

е)
\[ 3x^2+15xy=3x(x+5y). \] \[ \frac{3x(x+5y)}{x+5y}=3x. \]

Проверка: если мысленно умножить сокращённую дробь на убранный общий множитель, получаются исходные числитель и знаменатель. Важно: сокращать можно только множители, а не отдельные слагаемые.