Номер 59

Краткий ответ:

\[ \begin{aligned} \text{а)}&\quad -x-4,\qquad x\ne4;\\ \text{б)}&\quad 5-a,\qquad a\ne-5;\\ \text{в)}&\quad \frac{3}{a+b},\qquad a\ne b,\ a\ne-b;\\ \text{г)}&\quad \frac1{x-8},\qquad x\ne8,\ x\ne-8;\\ \text{д)}&\quad \frac{7a-b}{(a-b)^2},\qquad a\ne b;\\ \text{е)}&\quad \frac2{x+y},\qquad x+y\ne0. \end{aligned} \]

Решение

Если знаменатели одинаковые, складываем или вычитаем числители. Затем раскладываем на множители и сокращаем дробь.

а)

\[ \frac{16}{x-4}-\frac{x^2}{x-4} =\frac{16-x^2}{x-4} =\frac{-(x-4)(x+4)}{x-4} =-x-4. \]

б)

\[ \frac{25}{a+5}-\frac{a^2}{a+5} =\frac{25-a^2}{a+5} =\frac{-(a-5)(a+5)}{a+5} =5-a. \]

в) Используем формулу разности квадратов:

\[ a^2-b^2=(a-b)(a+b). \]

\[ \frac{3a-1}{a^2-b^2}-\frac{3b-1}{a^2-b^2} =\frac{3a-1-(3b-1)}{(a-b)(a+b)} \]

\[ =\frac{3a-3b}{(a-b)(a+b)} =\frac{3(a-b)}{(a-b)(a+b)} =\frac{3}{a+b}. \]

г)

\[ \frac{x-3}{x^2-64}+\frac{11}{x^2-64} =\frac{x+8}{(x-8)(x+8)} =\frac1{x-8}. \]

д)

\[ \frac{2a+b}{(a-b)^2}-\frac{2b-5a}{(a-b)^2} =\frac{2a+b-(2b-5a)}{(a-b)^2} \]

\[ =\frac{2a+b-2b+5a}{(a-b)^2} =\frac{7a-b}{(a-b)^2}. \]

Сократить дробь дальше нельзя.

е)

\[ \frac{13x+6y}{(x+y)^2}-\frac{11x+4y}{(x+y)^2} =\frac{2x+2y}{(x+y)^2} \]

\[ =\frac{2(x+y)}{(x+y)^2} =\frac2{x+y}. \]

Проверка: при сокращении были учтены ограничения на знаменатели исходных дробей, поэтому ответы верны только при указанных значениях переменных.