Реши задачи
Краткие ответы
- \(\vec v\) направлен по касательной к окружности в точке \(A\), а \(\vec a\) — от точки \(A\) к центру \(O\).
- Линейная скорость: \[ v=\pi\ \text{м/с}\approx3{,}14\ \text{м/с}. \] Угловая скорость: \[ \omega=10\pi\ \text{рад/с}\approx31{,}4\ \text{рад/с}. \]
- Ускорение точек барабана: \[ a\approx1{,}9\cdot10^3\ \text{м/с}^2. \]
Решение
1. Направления скорости и ускорения
При движении по окружности:
- вектор скорости \(\vec v\) всегда направлен по касательной к окружности;
- центростремительное ускорение \(\vec a\) направлено к центру окружности.
Поэтому в точке \(A\):
\[ \vec a\colon A\to O. \]
Направление \(\vec v\) может быть одним из двух противоположных касательных направлений — это зависит от того, по часовой стрелке движется тело или против неё. Векторы \(\vec v\) и \(\vec a\) перпендикулярны.
2. Скорости точек на ободе
Дано:
\[ R=10\ \text{см}=0{,}1\ \text{м},\qquad N=300\ \text{об/мин}. \]
Переведём число оборотов в секунды:
\[ \nu=\frac{300}{60}=5\ \text{с}^{-1}. \]
Угловая скорость:
\[ \omega=2\pi\nu=2\pi\cdot5=10\pi\ \text{рад/с} \approx31{,}4\ \text{рад/с}. \]
Линейная скорость точек обода:
\[ v=\omega R=10\pi\cdot0{,}1=\pi\ \text{м/с} \approx3{,}14\ \text{м/с}. \]
Проверка: за одну секунду точка проходит \(5\) окружностей длиной \(2\pi R\):
\[ v=5\cdot2\pi\cdot0{,}1=\pi\ \text{м/с}. \]
3. Ускорение точек барабана
Дано:
\[ r=21\ \text{см}=0{,}21\ \text{м},\qquad v=20\ \text{м/с}. \]
Центростремительное ускорение вычисляется по формуле:
\[ a=\frac{v^2}{r}. \]
Подставим значения:
\[ a=\frac{20^2}{0{,}21} =\frac{400}{0{,}21} \approx1905\ \text{м/с}^2. \]
Ответ:
\[ \boxed{a\approx1{,}9\cdot10^3\ \text{м/с}^2}. \]
Это ускорение направлено к оси вращения барабана.
