105 номер
Определение свойств функции
Мне необходимо уточнить симметрию области определения, особенно определение, согласно которому функция является чётной, если f(-x)=f(x), и нечётной, если f(-x)=-f(x). Важно различать эти свойства и их связь с симметрией области определения. Пользователь упомянул «номер 105» на изображении, с которым я работаю. Также следует быть осторожным и не утверждать, что какая-либо функция не является ни чётной, ни нечётной, поскольку это неверно. Я могу проверить, является ли f(x)=1-|x| чётной, и рассмотреть упоминание функций b и g, не отклоняясь от темы.
Краткий ответ:
- а) \(f(x)=\dfrac{5}{x}\) — нечётная;
- б) \(f(x)=5-3x^2\) — чётная;
- в) \(f(x)=x^3-x\) — нечётная;
- г) \(f(x)=1-|x|\) — чётная.
Правило
- функция чётная, если \(f(-x)=f(x)\);
- функция нечётная, если \(f(-x)=-f(x)\).
Решение
а)
\[
f(-x)=\frac{5}{-x}=-\frac{5}{x}=-f(x).
\]
Следовательно, функция нечётная. Область определения \(x\ne0\) симметрична относительно нуля.
б)
\[
f(-x)=5-3(-x)^2=5-3x^2=f(x).
\]
Функция чётная.
в)
\[
f(-x)=(-x)^3-(-x)=-x^3+x=-(x^3-x)=-f(x).
\]
Функция нечётная.
г)
\[
f(-x)=1-|-x|=1-|x|=f(x),
\]
так как \(|-x|=|x|\). Функция чётная.
