Найти производную y=x², y=x³, y=4x²+2

Краткий ответ: \[ y=x^2 \Rightarrow y'=2x; \] \[ y=x^3 \Rightarrow y'=3x^2; \] \[ y=4x^2+2 \Rightarrow y'=8x. \]

Правило: \[ (x^n)'=n x^{n-1}. \]

1. \[ (x^2)'=2x^{2-1}=2x. \]

2. \[ (x^3)'=3x^{3-1}=3x^2. \]

3. Производная суммы равна сумме производных: \[ (4x^2+2)'=4(x^2)'+(2)'=4\cdot2x+0=8x. \]

Число \(2\) исчезает, потому что производная любой постоянной равна нулю. Проверка: степень каждого степенного слагаемого уменьшилась на \(1\), а коэффициент умножился на прежнюю степень.