Реши задание на изображении
Краткий ответ
1. Обозначим
\[
P=A_1M\cap BB_1,
\]
а \(X\) — точку пересечения \(BC\) с прямой, проведённой через \(M\) параллельно \(A_1C_1\).
Тогда:
а) искомая точка — \(P\);
б) линия пересечения — \(C_1P\);
в) линия пересечения — \(MX\);
г) сечение — четырёхугольник
\[
A_1C_1XM.
\]
2. Пусть
\[
Q=NK\cap BD.
\]
Проведём \(MQ\). Обозначим:
\[
L=MQ\cap BC,\qquad R=MQ\cap CD.
\]
Сечение пирамиды — четырёхугольник
\[
KNRL,
\]
при этом точка \(M\) лежит на стороне \(LR\).
Ключевые шаги
Задание 1
а) Так как \(M\in AB\), прямая \(A_1M\) лежит в боковой грани \(AA_1B_1B\). Пересечение этой грани с плоскостью \((BB_1C_1)\) — прямая \(BB_1\). Поэтому
\[ P=A_1M\cap BB_1. \]
Точку \(P\) обычно получают на продолжении \(BB_1\).
б) Точки \(P\) и \(C_1\) принадлежат обеим плоскостям:
\[ P\in(A_1MC_1),\quad P\in(BB_1C_1), \] \[ C_1\in(A_1MC_1),\quad C_1\in(BB_1C_1). \]
Значит, линия пересечения плоскостей:
\[ C_1P. \]
в) В призме
\[ A_1C_1\parallel AC. \]
Через \(M\) проводим прямую \(MX\parallel A_1C_1\). Она лежит и в плоскости \((A_1MC_1)\), и в плоскости основания \((ABC)\). Поэтому
\[ (A_1MC_1)\cap(ABC)=MX. \]
г) Грани призмы пересекаются с секущей плоскостью так:
- верхняя грань: \(A_1C_1\);
- боковая грань \(AA_1B_1B\): \(A_1M\);
- основание \(ABC\): \(MX\);
- боковая грань \(BB_1C_1C\): \(C_1X\).
Получается сечение:
\[ \boxed{A_1C_1XM}. \]
Задание 2
Пусть \(\pi=(MNK)\).
- В грани \(ABD\) проводим \(NK\).
- Находим \[ Q=NK\cap BD. \]
- Точки \(M\) и \(Q\) принадлежат плоскости \(\pi\) и грани \(BDC\), поэтому линия \(MQ\) — след плоскости \(\pi\) на грани \(BDC\).
- Находим: \[ L=MQ\cap BC,\qquad R=MQ\cap CD. \]
- Соединяем точки: \[ K L,\quad L R,\quad R N,\quad N K. \]
Проверка: стороны \(KN, NR, RL, LK\) лежат соответственно в гранях \(ABD\), \(ACD\), \(BCD\), \(ABC\). Значит, искомое сечение — четырёхугольник \(KNRL\), а \(M\) находится на его стороне \(LR\).
Главный принцип: чтобы построить линию пересечения двух плоскостей, достаточно найти две общие точки.
Обсуждение
2 сообщенияПокажи, как отметить точки на рисунке
Отмечай точки в таком порядке.
1. Призма
- Точка \(M\) уже дана на ребре \(AB\).
- Проведи прямую через \(A_1\) и \(M\), продолжи её до пересечения с прямой \(BB_1\). Точку пересечения обозначь \(P\): \[ P=A_1M\cap BB_1. \] Обычно \(P\) получается на продолжении \(BB_1\) за точкой \(B\).
- Через \(M\) проведи прямую, параллельную \(A_1C_1\) (то же самое — параллельную \(AC\)). Она пересечёт \(BC\) в точке \(X\): \[ X=BC\cap\bigl(\text{прямая через }M\parallel A_1C_1\bigr). \]
- Соедини \(C_1\) с \(P\). Это вспомогательная линия.
- Само сечение обозначь четырёхугольником: \[ \boxed{A_1C_1XM}. \]
То есть на рисунке нужно дополнительно поставить \(P\) на \(BB_1\) и \(X\) на \(BC\).
2. Тетраэдр
- Соедини точки \(N\) и \(K\), продолжи прямую \(NK\) до пересечения с ребром \(BD\). Точку пересечения обозначь \(Q\): \[ Q=NK\cap BD. \]
- Соедини \(M\) и \(Q\). Прямая \(MQ\) пересечёт:
- \(BC\) в точке \(L\);
- \(CD\) в точке \(R\).
- Поставь точки: \[ L=MQ\cap BC,\qquad R=MQ\cap CD. \] При этом \(M\) лежит между \(L\) и \(R\).
- Соедини: \[ K\!-\!L,\quad L\!-\!R,\quad R\!-\!N,\quad N\!-\!K. \]
Получится сечение:
\[ \boxed{KNRL}. \]
На втором рисунке нужно дополнительно отметить \(Q\) на \(BD\), \(L\) на \(BC\) и \(R\) на \(CD\).
