Номер 317
Краткий ответ:
а) \(x=8\) или \(x=-2\);
б) \(x=-1\) или \(x=-7\);
в) \(x=6+\sqrt7\) или \(x=6-\sqrt7\);
г) \(x=-2+\sqrt6\) или \(x=-2-\sqrt6\).
Правило: если \(A^2=a\), где \(a\ge 0\), то
\[
A=\pm\sqrt a.
\]
Решение
а)
\[
(x-3)^2=25
\]
\[
x-3=\pm5
\]
\[
x=3\pm5.
\]
Следовательно,
\[
\boxed{x=8;\ -2}.
\]
б)
\[
(x+4)^2=9
\]
\[
x+4=\pm3
\]
\[
x=-4\pm3.
\]
Следовательно,
\[
\boxed{x=-1;\ -7}.
\]
в)
\[
(x-6)^2=7
\]
\[
x-6=\pm\sqrt7
\]
\[
\boxed{x=6\pm\sqrt7}.
\]
г)
\[
(x+2)^2=6
\]
\[
x+2=\pm\sqrt6
\]
\[
\boxed{x=-2\pm\sqrt6}.
\]
Проверка выполняется возведением найденных значений в квадрат: в каждом случае получается правая часть исходного уравнения.
Обсуждение
3 сообщенияОбьясни все решение
Разберём подробно. Во всех примерах используется правило:
\[ a^2=b \quad\Longrightarrow\quad a=\pm\sqrt b, \]
если \(b\ge 0\).
Знак \(\pm\) означает, что нужно рассмотреть два варианта: со знаком «плюс» и со знаком «минус», потому что, например,
\[ 5^2=25,\qquad (-5)^2=25. \]
а) \((x-3)^2=25\)
Квадрат выражения \(x-3\) равен \(25\). Значит, само выражение \(x-3\) может быть равно \(5\) или \(-5\):
\[ x-3=\pm5. \]
Рассмотрим два случая.
1-й случай:
\[ x-3=5 \]
Прибавим \(3\) к обеим частям:
\[ x=8. \]
2-й случай:
\[ x-3=-5 \]
Прибавим \(3\):
\[ x=-2. \]
Ответ:
\[ \boxed{x=8;\ -2}. \]
Проверка:
\[ (8-3)^2=5^2=25, \]
\[ (-2-3)^2=(-5)^2=25. \]
б) \((x+4)^2=9\)
Значит,
\[ x+4=\pm\sqrt9=\pm3. \]
Рассмотрим два случая.
1-й случай:
\[ x+4=3 \]
Вычтем \(4\):
\[ x=3-4=-1. \]
2-й случай:
\[ x+4=-3 \]
Вычтем \(4\):
\[ x=-3-4=-7. \]
Ответ:
\[ \boxed{x=-1;\ -7}. \]
Проверка:
\[ (-1+4)^2=3^2=9, \]
\[ (-7+4)^2=(-3)^2=9. \]
в) \((x-6)^2=7\)
Число \(7\) не является квадратом целого числа, поэтому оставляем корень:
\[ x-6=\pm\sqrt7. \]
Рассмотрим два случая.
1-й случай:
\[ x-6=\sqrt7 \]
Прибавим \(6\):
\[ x=6+\sqrt7. \]
2-й случай:
\[ x-6=-\sqrt7 \]
Прибавим \(6\):
\[ x=6-\sqrt7. \]
Ответ:
\[ \boxed{x=6+\sqrt7;\ 6-\sqrt7}. \]
г) \((x+2)^2=6\)
Получаем:
\[ x+2=\pm\sqrt6. \]
Рассмотрим два случая.
1-й случай:
\[ x+2=\sqrt6 \]
Вычтем \(2\):
\[ x=\sqrt6-2=-2+\sqrt6. \]
2-й случай:
\[ x+2=-\sqrt6 \]
Вычтем \(2\):
\[ x=-\sqrt6-2=-2-\sqrt6. \]
Ответ:
\[ \boxed{x=-2+\sqrt6;\ -2-\sqrt6}. \]
Итог
\[ \boxed{\text{а) }x=8;\,-2} \]
\[ \boxed{\text{б) }x=-1;\,-7} \]
\[ \boxed{\text{в) }x=6+\sqrt7;\,6-\sqrt7} \]
\[ \boxed{\text{г) }x=-2+\sqrt6;\,-2-\sqrt6} \]
номер 322
