Задача под номером 4 там O1D = l, угол CO1D = бета, угол COD = альфа
Краткий ответ:
\[ \boxed{R=\frac{l\sin\frac{\beta}{2}}{\sin\frac{\alpha}{2}}} \]
\[ \boxed{h=l\sqrt{1-\frac{\sin^2\frac{\beta}{2}}{\sin^2\frac{\alpha}{2}}}} \]
где \(R\) — радиус основания, \(h=OO_1\) — высота цилиндра.
Решение
Так как \(C\) и \(D\) лежат на окружности основания,
\[ O_1C=O_1D=l. \]
Рассмотрим равнобедренный треугольник \(CO_1D\). Его угол при вершине равен \(\beta\), поэтому
\[ CD=2l\sin\frac{\beta}{2}. \]
В равнобедренном треугольнике \(COD\):
\[ OC=OD=R,\qquad \angle COD=\alpha, \]
следовательно,
\[ CD=2R\sin\frac{\alpha}{2}. \]
Приравняем два выражения для \(CD\):
\[ 2l\sin\frac{\beta}{2} = 2R\sin\frac{\alpha}{2}. \]
Отсюда
\[ R=\frac{l\sin\frac{\beta}{2}}{\sin\frac{\alpha}{2}}. \]
Теперь треугольник \(OO_1D\) прямоугольный:
\[ O_1D^2=OO_1^2+OD^2. \]
То есть
\[ l^2=h^2+R^2, \]
\[ h=\sqrt{l^2-R^2}. \]
Подставляя найденный радиус, получаем формулу для высоты:
\[ h=l\sqrt{1-\frac{\sin^2\frac{\beta}{2}} {\sin^2\frac{\alpha}{2}}}. \]
Проверка: найденные \(R\) и \(h\) удовлетворяют \(R^2+h^2=l^2\).
Обсуждение
2 сообщенияПокажи вывод через теорему косинусов
Обозначим:
\[ R=OC=OD,\qquad h=OO_1. \]
1. Найдём радиус \(R\)
Рассмотрим треугольник \(CO_1D\). По условию:
\[ CO_1=O_1D=l,\qquad \angle CO_1D=\beta. \]
По теореме косинусов:
\[ CD^2=l^2+l^2-2l^2\cos\beta =2l^2(1-\cos\beta). \]
Теперь рассмотрим треугольник \(COD\). В нём:
\[ OC=OD=R,\qquad \angle COD=\alpha. \]
Снова применим теорему косинусов:
\[ CD^2=R^2+R^2-2R^2\cos\alpha =2R^2(1-\cos\alpha). \]
Приравняем полученные выражения:
\[ 2l^2(1-\cos\beta) = 2R^2(1-\cos\alpha). \]
Отсюда
\[ R^2= \frac{l^2(1-\cos\beta)}{1-\cos\alpha}, \]
\[ \boxed{R=l\sqrt{\frac{1-\cos\beta}{1-\cos\alpha}}}. \]
Используя формулу \(1-\cos x=2\sin^2\frac{x}{2}\), можно записать:
\[ \boxed{R=\frac{l\sin\frac{\beta}{2}} {\sin\frac{\alpha}{2}}}. \]
2. Найдём высоту \(h\)
В прямоугольном треугольнике \(OO_1D\) угол при \(O\) равен \(90^\circ\). По теореме косинусов:
\[ O_1D^2=OO_1^2+OD^2 -2\cdot OO_1\cdot OD\cos90^\circ. \]
Так как \(\cos90^\circ=0\), получаем:
\[ l^2=h^2+R^2. \]
Следовательно,
\[ h=\sqrt{l^2-R^2}. \]
Подставляя найденное значение \(R\), имеем:
\[ \boxed{ h=l\sqrt{1-\frac{1-\cos\beta}{1-\cos\alpha}} }. \]
Или в виде с половинными углами:
\[ \boxed{ h=l\sqrt{1-\frac{\sin^2\frac{\beta}{2}} {\sin^2\frac{\alpha}{2}}} }. \]
