Номер 322
Краткий ответ:
а) \(7\); б) \(26\); в) \(-28\); г) \(45\); д) \(4\); е) \(60\); ж) \(\frac34\); з) \(\frac12\).
Правило:
\[
(\sqrt a)^2=a,\qquad (k\sqrt a)^2=k^2a.
\]
Решение:
а)
\[
(\sqrt7)^2=7.
\]
б)
\[
(-\sqrt{26})^2=(\sqrt{26})^2=26.
\]
При возведении в квадрат знак «минус» исчезает.
в)
\[
-2\sqrt{14}\cdot\sqrt{14}=-2\cdot14=-28.
\]
г)
\[
(3\sqrt5)^2=3^2\cdot(\sqrt5)^2=9\cdot5=45.
\]
д)
\[
0{,}5(-\sqrt8)^2=0{,}5\cdot8=4.
\]
е)
\[
(-2\sqrt{15})^2=(-2)^2\cdot(\sqrt{15})^2
=4\cdot15=60.
\]
ж)
\[
\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2
=\frac{(\sqrt3)^2}{2^2}
=\frac34.
\]
з)
\[
\left(\frac{\sqrt3}{\sqrt6}\right)^2
=\frac{(\sqrt3)^2}{(\sqrt6)^2}
=\frac36=\frac12.
\]
Проверка: во всех случаях использовано возведение каждого множителя или дроби в квадрат.
Обсуждение
2 сообщенияобьясни каждое решение
Разберём каждое выражение по шагам.
Главное правило
\[ (\sqrt a)^2=a, \]
потому что квадратный корень и возведение в квадрат — обратные действия.
Также:
\[ (k\sqrt a)^2=k^2(\sqrt a)^2=k^2a. \]
а) \(\left(\sqrt7\right)^2\)
Корень и квадрат сокращаются:
\[ \left(\sqrt7\right)^2=7. \]
Ответ: \(7\).
б) \(\left(-\sqrt{26}\right)^2\)
Сначала возводим в квадрат знак «минус»:
\[ (-1)^2=1. \]
Затем корень:
\[ \left(-\sqrt{26}\right)^2=(-1)^2(\sqrt{26})^2 =1\cdot26=26. \]
Ответ: \(26\).
в) \(-2\sqrt{14}\cdot\sqrt{14}\)
Сначала перемножим корни:
\[ \sqrt{14}\cdot\sqrt{14}=14. \]
Теперь умножим на \(-2\):
\[ -2\cdot14=-28. \]
Ответ: \(-28\).
г) \((3\sqrt5)^2\)
Возводим в квадрат и число \(3\), и корень:
\[ (3\sqrt5)^2=3^2\cdot(\sqrt5)^2. \]
\[ 3^2=9,\qquad (\sqrt5)^2=5. \]
Поэтому:
\[ 9\cdot5=45. \]
Ответ: \(45\).
д) \(0{,}5(-\sqrt8)^2\)
Число \(0{,}5\) находится вне скобок, поэтому сначала вычисляем квадрат:
\[ (-\sqrt8)^2=8. \]
Затем умножаем:
\[ 0{,}5\cdot8=4. \]
Ответ: \(4\).
е) \((-2\sqrt{15})^2\)
Возводим в квадрат коэффициент \(-2\):
\[ (-2)^2=4. \]
Корень также возводится в квадрат:
\[ (\sqrt{15})^2=15. \]
Перемножаем:
\[ 4\cdot15=60. \]
Ответ: \(60\).
ж) \(\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2\)
При возведении дроби в квадрат возводим в квадрат числитель и знаменатель:
\[ \left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2 =\frac{(\sqrt3)^2}{2^2}. \]
\[ (\sqrt3)^2=3,\qquad 2^2=4. \]
Получаем:
\[ \frac34. \]
Ответ: \(\frac34\).
з) \(\left(\frac{\sqrt3}{\sqrt6}\right)^2\)
Возводим в квадрат числитель и знаменатель:
\[ \left(\frac{\sqrt3}{\sqrt6}\right)^2 =\frac{(\sqrt3)^2}{(\sqrt6)^2}. \]
\[ (\sqrt3)^2=3,\qquad (\sqrt6)^2=6. \]
Получаем:
\[ \frac36=\frac12. \]
Ответ: \(\frac12\).
Итак, ответы:
\[ \boxed{7;\ 26;\ -28;\ 45;\ 4;\ 60;\ \frac34;\ \frac12}. \]
