Реши задание на изображении
Ответ: \(18\) см.
Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам: \[ AO=BO=\frac{AC}{2}=\frac{12}{2}=6\text{ см}. \]
В прямоугольном треугольнике \(ACD\): \[ \angle CAD=30^\circ,\qquad AC=12\text{ см}. \] Сторона \(CD\), лежащая напротив угла \(30^\circ\), равна половине гипотенузы: \[ CD=\frac{AC}{2}=6\text{ см}. \]
В прямоугольнике противоположные стороны равны, поэтому: \[ AB=CD=6\text{ см}. \]
Тогда периметр треугольника \(AOB\): \[ P_{AOB}=AO+OB+AB=6+6+6=\boxed{18\text{ см}}. \]
Проверка: треугольник \(AOB\) равносторонний, так как все его стороны равны \(6\) см.
Обсуждение
2 сообщенияПочему диагонали прямоугольника делятся пополам?
Потому что прямоугольник — это параллелограмм, а у любого параллелограмма диагонали точкой пересечения делятся пополам.
Пусть диагонали \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(O\). Рассмотрим треугольники \(AOB\) и \(COD\):
- \(AB=CD\), так как противоположные стороны прямоугольника равны;
- углы при \(A\) и \(C\) равны, потому что \(AB\parallel CD\);
- углы при \(B\) и \(D\) также равны.
Значит, треугольники \(AOB\) и \(COD\) равны, поэтому: \[ AO=OC,\qquad BO=OD. \]
То есть каждая диагональ разделена точкой \(O\) на две равные части. В нашей задаче: \[ AO=\frac{AC}{2}=\frac{12}{2}=6\text{ см}. \] Кроме того, диагонали прямоугольника равны, поэтому \(BD=12\) см и \(BO=6\) см.
