задача под номером 4 там O1D = l, угол CO1D = бета, угол COD = альфа

Краткий ответ. Обозначим радиус основания через \(r\), а высоту цилиндра — через \(h\). Тогда

\[ \boxed{r=l\frac{\sin\frac{\beta}{2}}{\sin\frac{\alpha}{2}}} \]

\[ \boxed{h=l\sqrt{1-\frac{\sin^2\frac{\beta}{2}}{\sin^2\frac{\alpha}{2}}}} \]

Решение

Так как точки \(C\) и \(D\) лежат на окружности основания,

\[ OC=OD=r. \]

Поскольку \(O_1O\perp\) плоскости основания, треугольники \(O_1OC\) и \(O_1OD\) прямоугольные. Поэтому

\[ O_1C^2=h^2+r^2=O_1D^2, \]

значит,

\[ O_1C=O_1D=l. \]

Рассмотрим хорду \(CD\).

В равнобедренном треугольнике \(COD\):

\[ CD=2r\sin\frac{\alpha}{2}. \]

В равнобедренном треугольнике \(CO_1D\), где боковые стороны равны \(l\), а угол при \(O_1\) равен \(\beta\):

\[ CD=2l\sin\frac{\beta}{2}. \]

Приравняем выражения для \(CD\):

\[ 2r\sin\frac{\alpha}{2} = 2l\sin\frac{\beta}{2}. \]

Отсюда

\[ r=l\frac{\sin\frac{\beta}{2}}{\sin\frac{\alpha}{2}}. \]

Теперь из прямоугольного треугольника \(O_1OD\):

\[ O_1D^2=OO_1^2+OD^2, \]

\[ l^2=h^2+r^2. \]

Следовательно,

\[ h=\sqrt{l^2-r^2} = l\sqrt{1-\frac{\sin^2\frac{\beta}{2}}{\sin^2\frac{\alpha}{2}}}. \]

Проверка: полученные \(r\) и \(h\) удовлетворяют равенству

\[ h^2+r^2=l^2. \]