Выполни

Краткие ответы

1. \(\boxed{26}\).

2. По рисунку: \[ \vec a=(1;-3),\qquad \vec b=(3;2). \] \[ \vec a\cdot\vec b=-3,\qquad |2\vec a-\vec b|=\sqrt{65}. \]

3. По рисунку: \[ \vec a=(1;-1),\qquad \vec b=(-2;1). \] \[ |\vec a|=\sqrt2,\qquad |\vec b|=\sqrt5. \]

4. По рисунку: \[ \vec a=(-1;4),\qquad \vec b=(3;1),\qquad \vec c=(-5;2). \] \[ |\vec a|=\sqrt{17},\quad |\vec b|=\sqrt{10},\quad |\vec c|=\sqrt{29}, \] \[ \vec a\cdot\vec c=13,\qquad \vec b\cdot\vec c=-13. \]

5. \[ \overrightarrow{AB}=(3;-4),\qquad |\overrightarrow{AB}|=5. \]

6. По рисунку: \[ \vec a=(-5;-10),\qquad \vec b=(-6;-4). \] \[ |\vec a|=5\sqrt5,\qquad |\vec b|=2\sqrt{13},\qquad \vec a\cdot\vec b=70. \]

Ключевой принцип

Для вектора из точки \(P(x_1;y_1)\) в точку \(Q(x_2;y_2)\): \[ \overrightarrow{PQ}=(x_2-x_1;\,y_2-y_1). \]

Его проекции на оси — это координаты: \[ \operatorname{pr}_x\vec u=u_x,\qquad \operatorname{pr}_y\vec u=u_y. \]

Длина вектора: \[ |\vec u|=\sqrt{u_x^2+u_y^2}. \]

Скалярное произведение: \[ \vec u\cdot\vec v=u_xv_x+u_yv_y. \]

Проверка вычислений

1. \[ |\vec d|=\sqrt{10^2+(-24)^2} =\sqrt{100+576} =\sqrt{676}=26. \]

2. \[ 2\vec a-\vec b=(2;-6)-(3;2)=(-1;-8), \] \[ |2\vec a-\vec b| =\sqrt{(-1)^2+(-8)^2} =\sqrt{65}. \]

4. \[ \vec a\cdot\vec c=(-1)(-5)+4\cdot2=13, \] \[ \vec b\cdot\vec c=3(-5)+1\cdot2=-13. \]

5. \[ \overrightarrow{AB}=(5-2;\,-1-3)=(3;-4), \] \[ |\overrightarrow{AB}|=\sqrt{3^2+(-4)^2} =\sqrt{25}=5. \]

6. \[ \vec a\cdot\vec b=(-5)(-6)+(-10)(-4)=30+40=70. \]