7.2,7.3

Краткий ответ

7.2:

1. \(5^{-1}\);
2. \(3^{-1}\);
3. \(2^{-4}\);
4. \(10^1\).

7.3:

1. \(16\);
2. \(\dfrac{1}{1296}\);
3. \(2048\);
4. \(\dfrac{1}{6561}\).

Решение

Используем свойства: \[ a^m\cdot a^n=a^{m+n},\qquad a^m:a^n=a^{m-n},\qquad (a^m)^n=a^{mn}, \] \[ a^{-n}=\frac1{a^n}. \]

7.2

1. \[ 125\cdot5^{-4}=5^3\cdot5^{-4}=5^{3-4}=5^{-1}. \]

2. \[ 27\cdot\frac19\cdot3^{-4}:3^{-2} =3^3\cdot3^{-2}\cdot3^{-4}:3^{-2} \] \[ =3^{3-2-4-(-2)}=3^{-1}. \]

3. \[ \frac1{32}\cdot2^7:64 =2^{-5}\cdot2^7:2^6 =2^{-5+7-6}=2^{-4}. \]

4. \[ 100^2\cdot10^{-3} =(10^2)^2\cdot10^{-3} =10^4\cdot10^{-3}=10^1. \]

7.3

1. \[ 64^{-1}\cdot32^2 =(2^6)^{-1}\cdot(2^5)^2 =2^{-6}\cdot2^{10} =2^4=16. \]

2. \[ (6^3)^2:36^5 =6^6:(6^2)^5 =6^6:6^{10} =6^{-4} =\frac1{6^4}=\frac1{1296}. \]

3. \[ \frac{4^{-3}\cdot2^5}{8^{-4}} =\frac{(2^2)^{-3}\cdot2^5}{(2^3)^{-4}} =\frac{2^{-6+5}}{2^{-12}} \] \[ =2^{-1-(-12)}=2^{11}=2048. \]

4. \[ \frac{(3^{-3})^3\cdot3^7}{27^2} =\frac{3^{-9}\cdot3^7}{(3^3)^2} =\frac{3^{-2}}{3^6} =3^{-8} =\frac1{3^8}=\frac1{6561}. \]

Проверка: отрицательная степень означает обратное число, поэтому \(3^{-8}=\dfrac1{6561}\), а \(2^{11}=2048\).