Реши задание на изображении
Краткий ответ
- Положение точки задают координатами или радиус-вектором.
- В пространстве положение точки задают тремя координатами: \(M(x; y; z)\).
- Радиус-вектор: \(\vec r=\overrightarrow{OM}\), где \(O\) — начало координат.
- Проекция вектора на ось — его направленная составляющая вдоль этой оси:
\[ a_{\text{пр}}=a\cos\varphi. \] - При одинаковом направлении вектора и оси: \(a_{\text{пр}}=a\).
- При противоположных направлениях: \(a_{\text{пр}}=-a\).
- При перпендикулярности: \(a_{\text{пр}}=0\).
Ответы к тестам:
- А1 — 3
- А2 — 4
- А3 — 2
- А4 — 4
- А5 — 3
Решение
Для вектора, образующего угол \(\alpha\) с положительным направлением оси \(X\):
\[ r_x=r\cos\alpha,\qquad r_y=r\sin\alpha. \]
А1. \(r=1\ \text{м}\), \(\alpha=30^\circ\):
\[ r_x=1\cdot\cos30^\circ\approx0{,}87\ \text{м}, \] \[ r_y=1\cdot\sin30^\circ=0{,}5\ \text{м}. \]
Ответ: \(0{,}87\ \text{м};\ 0{,}5\ \text{м}\), вариант 3.
А2. \(r=2\ \text{м}\), \(\alpha=135^\circ\):
\[ r_x=2\cos135^\circ=-\sqrt2\approx-1{,}41\ \text{м}, \] \[ r_y=2\sin135^\circ=\sqrt2\approx1{,}41\ \text{м}. \]
Ответ: \(-1{,}41\ \text{м};\ 1{,}41\ \text{м}\), вариант 4.
А3. Начальная точка имеет координаты \((3;0)\). Если \(y\) увеличилась на \(4\), новая точка:
\[ (3;4). \]
Модуль радиус-вектора:
\[ r=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5\ \text{м}. \]
Ответ: \(5\ \text{м}\), вариант 2.
А4. Координаты \(x\) и \(y\) постоянны, а координата \(z\) изменяется:
\[ x=4\ \text{м},\qquad y=0,\qquad z=z(t). \]
В момент времени \(t\): \(z(t)=3\ \text{м}\). Ответ — вариант 4.
А5. Перемещение точки:
\[ \Delta\vec r=(0-3;\,3-0)=(-3;\,3). \]
Вектор направлен во II координатную четверть. Острый угол с отрицательным направлением оси \(X\) равен \(45^\circ\), поэтому с положительным направлением оси \(OX\):
\[ \varphi=180^\circ-45^\circ=135^\circ. \]
Ответ: \(135^\circ\), вариант 3.
