Задача №3

Краткий ответ:
\[ x_{\text{легк.}}=30t,\qquad x_{\text{груз.}}=250+25t, \] где \(x\) — в метрах, \(t\) — в секундах. Легковой автомобиль догонит грузовой через

\[ t=50\ \text{с}, \]

на расстоянии

\[ x=1500\ \text{м}=1{,}5\ \text{км} \]

от начального положения легкового автомобиля. При обычных ограничениях на автомагистрали правила соблюдаются.

Решение

Выберем ось \(Ox\) по направлению движения. Начальный момент обозначим \(t=0\), а место легкового автомобиля примем за начало координат:

\[ x_{\text{легк.}}(0)=0,\qquad x_{\text{груз.}}(0)=250\ \text{м}. \]

Поэтому уравнения движения:

\[ \boxed{x_{\text{легк.}}(t)=30t} \]

\[ \boxed{x_{\text{груз.}}(t)=250+25t}. \]

Время и место встречи

В момент обгона координаты автомобилей равны:

\[ 30t=250+25t. \]

Отсюда:

\[ 5t=250,\qquad t=50\ \text{с}. \]

Координата места обгона:

\[ x=30\cdot50=1500\ \text{м}. \]

Проверка через относительную скорость:

\[ v_{\text{отн}}=30-25=5\ \text{м/с}, \]

\[ t=\frac{250}{5}=50\ \text{с}. \]

Графики движения

Это две прямые на графике \(x(t)\):

• легковой автомобиль: прямая через точки \((0;0)\) и \((50;1500)\);
• грузовой автомобиль: прямая через точки \((0;250)\) и \((50;1500)\).

Для построения можно использовать таблицу:

\[ \begin{array}{c|ccc} t,\ \text{с} & 0 & 25 & 50\\ \hline x_{\text{легк.}},\ \text{м} & 0 & 750 & 1500\\ x_{\text{груз.}},\ \text{м} & 250 & 875 & 1500 \end{array} \]

Точка пересечения графиков: \((50;\,1500)\).

Скорости в километрах в час:

\[ 25\ \frac{\text{м}}{\text{с}}=90\ \frac{\text{км}}{\text{ч}}, \qquad 30\ \frac{\text{м}}{\text{с}}=108\ \frac{\text{км}}{\text{ч}}. \]

Для грузового автомобиля допустимая скорость — \(90\ \text{км/ч}\), для легкового на автомагистрали — до \(110\ \text{км/ч}\). Значит, водители правила не нарушают.