Решы номер 40,41,42.

Краткий ответ

40. Сократите дробь

а) \(\displaystyle -\frac{a}{b}\)

б) \(\displaystyle -\frac{5}{x^2}\)

в) \(\displaystyle -\frac{3}{b}\)

г) \(\displaystyle -\frac{1}{3b}\)

д) \(\displaystyle -\frac{a+5}{3}\)

е) \(\displaystyle -\frac{3}{x-1}\)

ж) \(\displaystyle \frac{8(a+b)}{b-a}\)

з) \(\displaystyle b-2\)

41. Сократите дробь

а) \(\displaystyle \frac{a+b}{b}\)

б) \(\displaystyle \frac{2-b}{5}\)

42. Упростите выражение

а) \(\displaystyle x^2\)

б) \(\displaystyle -y^4\)

в) \(\displaystyle -b^5\)

г) \(\displaystyle c^2(c+1)\)

Ключевые шаги

Главное правило: сначала разложить числитель и знаменатель на множители, затем сократить только общие множители.

40

а) \[ \frac{a(x-2y)}{b(2y-x)} =\frac{a(x-2y)}{-b(x-2y)} =-\frac ab. \]

б) \[ \frac{5x(x-y)}{x^3(y-x)} =\frac{5x(x-y)}{-x^3(x-y)} =-\frac5{x^2}. \]

в) \[ \frac{3a-36}{12b-ab} =\frac{3(a-12)}{b(12-a)} =-\frac3b. \]

г) \[ \frac{7b-14b^2}{42b^2-21b} =\frac{7b(1-2b)}{21b(2b-1)} =-\frac1{3b}. \]

д) \[ \frac{25-a^2}{3a-15} =\frac{(5-a)(5+a)}{3(a-5)} =-\frac{a+5}{3}. \]

е) \[ \frac{3-3x}{x^2-2x+1} =\frac{-3(x-1)}{(x-1)^2} =-\frac3{x-1}. \]

ж) \[ \frac{8b^2-8a^2}{a^2-2ab+b^2} =\frac{8(b-a)(b+a)}{(a-b)^2} =\frac{8(a+b)}{b-a}. \]

з) \[ \frac{(b-2)^3}{(2-b)^2} =\frac{(b-2)^3}{(b-2)^2} =b-2. \]

41

а) \[ \frac{ax+bx-ay-by}{bx-by} =\frac{(a+b)(x-y)}{b(x-y)} =\frac{a+b}{b}. \]

б) \[ \frac{ab-3b-2a+6}{15-5a} =\frac{(a-3)(b-2)}{-5(a-3)} =\frac{2-b}{5}. \]

42

а) \[ \frac{x^6+x^4}{x^4+x^2} =\frac{x^4(x^2+1)}{x^2(x^2+1)} =x^2. \]

б) \[ \frac{y^6-y^8}{y^4-y^2} =\frac{-y^6(y^2-1)}{y^2(y^2-1)} =-y^4. \]

в) \[ \frac{b^7-b^{10}}{b^5-b^2} =\frac{b^7(1-b^3)}{b^2(b^3-1)} =-b^5. \]

г) \[ \frac{c^6-c^4}{c^3-c^2} =\frac{c^4(c-1)(c+1)}{c^2(c-1)} =c^2(c+1). \]

Сокращение допустимо, если исходный знаменатель не равен нулю: например, в 40а \(b\ne0\) и \(x\ne2y\), в 41а \(b\ne0\) и \(x\ne y\), в 42б \(y\ne0,\pm1\). При этих ограничениях обратное раскрытие скобок возвращает исходную дробь.