Номер 132

Краткий ответ:
а) да, события независимы;
б) нет, события зависимы.

Для независимых событий должно выполняться: \[ P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B). \]

а)

\(A\): при первом броске выпала шестёрка: \[ P(A)=\frac16. \]

\(B\): при втором броске выпало меньше 3 очков, то есть 1 или 2: \[ P(B)=\frac26=\frac13. \]

Так как броски независимы: \[ P(A\cap B)=\frac16\cdot\frac13=\frac1{18}. \]

Равенство выполняется, значит, события независимы.

б)

\(A\): при первом броске выпало больше 3 очков, то есть 4, 5 или 6: \[ P(A)=\frac36=\frac12. \]

\(B\): сумма очков меньше 9. Из 36 равновероятных пар возможны 26 подходящих пар: \[ P(B)=\frac{26}{36}=\frac{13}{18}. \]

Найдём \(P(A\cap B)\):

• если на первом броске 4, на втором может выпасть \(1,2,3,4\) — 4 варианта;
• если на первом 5 — 3 варианта;
• если на первом 6 — 2 варианта.

Всего: \[ 4+3+2=9, \qquad P(A\cap B)=\frac9{36}=\frac14. \]

А произведение вероятностей: \[ P(A)P(B)=\frac12\cdot\frac{13}{18} =\frac{13}{36}. \]

Так как \[ \frac9{36}\ne\frac{13}{36}, \] события зависимы.