Реши задание на изображении
Краткий ответ
Область определения:
- а) \(D(f)=\mathbb R\);
- б) \(D(f)=\mathbb R\setminus\left\{-\frac14;1\right\}\);
- в) \(D(f)=\left[\frac23;+\infty\right)\).
Чётность:
- а) чётная;
- б) нечётная;
- в) ни чётная, ни нечётная.
Для \(y=x^2-5x+6\):
- а) \(y(1{,}5)=\frac34\);
- б) \(x=\frac{5\pm\sqrt{21}}2\);
- в) нули: \(x=2\) и \(x=3\); функция положительна на \((-\infty;2)\cup(3;+\infty)\), отрицательна на \((2;3)\);
- г) возрастает на \(\left[\frac52;+\infty\right)\);
- д) \(E(f)=\left[-\frac14;+\infty\right)\).
\(a=7\).
Решение
№ 1
а) \(y=2x^3-5x+4\)
Это многочлен, поэтому он определён при любом \(x\):
\[ D(f)=\mathbb R. \]
б)
\[ y=\frac1{4x^2-3x-1}. \]
Знаменатель не должен равняться нулю:
\[ 4x^2-3x-1=(4x+1)(x-1). \]
Отсюда:
\[ x\neq-\frac14,\qquad x\neq1. \]
Значит,
\[ D(f)=\mathbb R\setminus\left\{-\frac14;1\right\}. \]
Или в виде промежутков:
\[ (-\infty;-\tfrac14)\cup(-\tfrac14;1)\cup(1;+\infty). \]
в)
\[ y=\sqrt{3x-2}. \]
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
\[ 3x-2\ge0, \]
\[ x\ge\frac23. \]
Следовательно,
\[ D(f)=\left[\frac23;+\infty\right). \]
№ 2
Функция чётная, если \(f(-x)=f(x)\), и нечётная, если \(f(-x)=-f(x)\).
а)
\[ f(x)=4x^2-3. \]
\[ f(-x)=4(-x)^2-3=4x^2-3=f(x). \]
Функция чётная.
б)
\[ f(x)=-\frac3x. \]
\[ f(-x)=-\frac3{-x}=\frac3x=-\left(-\frac3x\right)=-f(x). \]
Функция нечётная.
в)
\[ f(x)=\sqrt{x+2}. \]
Её область определения:
\[ x+2\ge0\quad\Rightarrow\quad x\ge-2. \]
Область определения не симметрична относительно нуля: например, \(3\) входит в неё, а \(-3\) — нет. Поэтому функция ни чётная, ни нечётная.
№ 3
\[ y=x^2-5x+6. \]
Представим функцию в виде:
\[ y=\left(x-\frac52\right)^2-\frac14. \]
Это парабола, ветви направлены вверх. Вершина:
\[ V\left(\frac52;-\frac14\right), \]
ось симметрии:
\[ x=\frac52. \]
Для построения также удобно отметить точки:
\[ (2;0),\quad (3;0),\quad (0;6),\quad (5;6). \]
а) Значение \(y\) при \(x=1{,}5\):
\[ y(1{,}5)=1{,}5^2-5\cdot1{,}5+6 \]
\[ =2{,}25-7{,}5+6=0{,}75=\frac34. \]
б) Найдём \(x\), если \(y=5\):
\[ x^2-5x+6=5, \]
\[ x^2-5x+1=0. \]
По формуле корней:
\[ x=\frac{5\pm\sqrt{25-4}}2 =\frac{5\pm\sqrt{21}}2. \]
в) Нули и знакопостоянство
Разложим на множители:
\[ y=x^2-5x+6=(x-2)(x-3). \]
Нули функции:
\[ x=2,\qquad x=3. \]
Так как коэффициент при \(x^2\) положительный, парабола расположена:
\[ y>0 \text{ на }(-\infty;2)\cup(3;+\infty), \]
\[ y<0 \text{ на }(2;3). \]
г) Промежуток возрастания
Вершина имеет абсциссу \(x=\frac52\). Парабола возрастает справа от вершины:
\[ \left[\frac52;+\infty\right). \]
д) Множество значений
Минимальное значение достигается в вершине и равно \(-\frac14\):
\[ E(f)=\left[-\frac14;+\infty\right). \]
№ 4
\[ y=x^2-8x+a. \]
Выделим полный квадрат:
\[ y=(x-4)^2+a-16. \]
Так как \((x-4)^2\ge0\), наименьшее значение функции равно
\[ a-16. \]
По условию:
\[ a-16=-9, \]
\[ a=7. \]
Проверка:
\[ y=x^2-8x+7=(x-4)^2-9, \]
поэтому минимум действительно равен \(-9\).
