Номер 376 (в,г); 377
Краткий ответ
376, в)
\[
\angle A=\angle C=71^\circ,\qquad
\angle B=\angle D=109^\circ.
\]
376, г)
\[
\angle A=\angle C=120^\circ,\qquad
\angle B=\angle D=60^\circ.
\]
377)
Стороны параллелограмма:
\[
MN=PQ=6\text{ см},\qquad MQ=NP=8\text{ см}.
\]
Углы: \[ \angle M=\angle P=60^\circ,\qquad \angle N=\angle Q=120^\circ. \]
Решение
376, в)
В параллелограмме противоположные углы равны:
\[ \angle A=\angle C. \]
По условию:
\[ \angle A+\angle C=142^\circ. \]
Значит,
\[ 2\angle A=142^\circ,\qquad \angle A=71^\circ. \]
Соседние углы параллелограмма в сумме дают \(180^\circ\):
\[ \angle B=180^\circ-71^\circ=109^\circ. \]
Следовательно:
\[ \boxed{\angle A=\angle C=71^\circ,\quad \angle B=\angle D=109^\circ.} \]
376, г)
Соседние углы supplementary:
\[ \angle A+\angle B=180^\circ. \]
По условию \(\angle A=2\angle B\). Тогда:
\[ 2\angle B+\angle B=180^\circ, \] \[ 3\angle B=180^\circ,\qquad \angle B=60^\circ. \]
Тогда:
\[ \angle A=2\cdot60^\circ=120^\circ. \]
Следовательно:
\[ \boxed{\angle A=\angle C=120^\circ,\quad \angle B=\angle D=60^\circ.} \]
377
Так как \(NH\perp MQ\), треугольник \(MNH\) прямоугольный, причём
\[ \angle MNH=30^\circ,\qquad MH=3\text{ см}. \]
В треугольнике \(30^\circ-60^\circ-90^\circ\) сторона, лежащая напротив угла \(30^\circ\), равна половине гипотенузы. Поэтому:
\[ MN=2MH=2\cdot3=6\text{ см}. \]
Также:
\[ MQ=MH+HQ=3+5=8\text{ см}. \]
В параллелограмме противоположные стороны равны:
\[ PQ=MN=6\text{ см},\qquad NP=MQ=8\text{ см}. \]
Угол при \(M\):
\[ \angle M=180^\circ-90^\circ-30^\circ=60^\circ. \]
Соседний угол:
\[ \angle N=180^\circ-60^\circ=120^\circ. \]
Проверка для треугольника \(MNH\):
\[ NH=3\sqrt3,\qquad MH^2+NH^2=3^2+(3\sqrt3)^2=9+27=36=MN^2. \]
