Сделай 103,104

Разберём подробно.

№ 103

Пусть исходная дробь имеет вид \(\dfrac{x}{y}\).

По условию: \[ \frac{x+2}{y+3}=\frac{x}{y}. \]

Перемножим по диагонали: \[ y(x+2)=x(y+3). \]

Раскроем скобки: \[ xy+2y=xy+3x. \]

Вычтем \(xy\) из обеих частей: \[ 2y=3x. \]

Значит, \[ \frac{x}{y}=\frac{2}{3}. \]

Теперь используем второе условие: \[ \frac{x+1}{y+6}=\frac13. \]

Перемножим по диагонали: \[ 3(x+1)=y+6. \]

Раскроем скобки: \[ 3x+3=y+6, \] \[ y=3x-3. \]

Из первого равенства: \[ 2y=3x \Rightarrow y=\frac{3x}{2}. \]

Приравняем выражения для \(y\): \[ \frac{3x}{2}=3x-3. \]

Умножим на \(2\): \[ 3x=6x-6, \] \[ 3x=6, \] \[ x=2. \]

Тогда \[ y=3x-3=3\cdot2-3=3. \]

Следовательно, исходная дробь: \[ \boxed{\frac23}. \]

Проверка: \[ \frac{2+2}{3+3}=\frac46=\frac23, \qquad \frac{2+1}{3+6}=\frac39=\frac13. \]

№ 104 а)

Пусть стороны прямоугольника равны \(a\) и \(b\). По условию: \[ a+b=23, \] а диагональ равна \(17\).

По теореме Пифагора: \[ a^2+b^2=17^2=289. \]

Возведём сумму \(a+b\) в квадрат: \[ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2. \]

Подставим известные значения: \[ 23^2=289+2ab. \]

Так как \(23^2=529\), получаем: \[ 529=289+2ab, \] \[ 2ab=240, \] \[ ab=120. \]

Теперь стороны \(a\) и \(b\) являются корнями уравнения: \[ t^2-(a+b)t+ab=0. \]

Подставим \(a+b=23\) и \(ab=120\): \[ t^2-23t+120=0. \]

Разложим на множители: \[ (t-8)(t-15)=0. \]

Значит: \[ t=8 \quad \text{или} \quad t=15. \]

Ответ: \[ \boxed{8\text{ см и }15\text{ см}}. \]

Проверка диагонали: \[ \sqrt{8^2+15^2}=\sqrt{64+225}=\sqrt{289}=17\text{ см}. \]

№ 104 б)

Пусть диагонали равны: \[ d_1=4x,\qquad d_2=9x. \]

Площадь фигуры через диагонали вычисляется по формуле: \[ S=\frac{d_1d_2}{2}. \]

По условию площадь равна \(36\): \[ 36=\frac{4x\cdot9x}{2}. \]

Перемножим: \[ 36=\frac{36x^2}{2}=18x^2. \]

Разделим на \(18\): \[ x^2=2. \]

Так как длина диагонали положительна: \[ x=\sqrt2. \]

Тогда: \[ d_1=4x=4\sqrt2, \] \[ d_2=9x=9\sqrt2. \]

Ответ: \[ \boxed{4\sqrt2\text{ см и }9\sqrt2\text{ см}}. \]