Реши задание на изображении

Краткий ответ:

1. \(\sin\alpha=\dfrac{\sqrt2}{2}\), \(\tg\alpha=-1\).
2. \(AC=7\text{ см}\).
3. \(AC=5\sqrt2\text{ см}\).

№1

Используем основное тригонометрическое тождество:

\[ \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1. \]

\[ \sin^2\alpha=1-\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)^2 =1-\frac12=\frac12. \]

Так как \(90^\circ<\alpha<180^\circ\), угол находится во II четверти, где синус положительный:

\[ \sin\alpha=\frac{\sqrt2}{2}. \]

Теперь найдём тангенс:

\[ \tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} =\frac{\frac{\sqrt2}{2}}{-\frac{\sqrt2}{2}}=-1. \]

Проверка: во II четверти синус положительный, косинус отрицательный, значит тангенс отрицательный.

№2

Используем теорему косинусов. Сторона \(AC\) лежит напротив угла \(B\):

\[ AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot\cos B. \]

Подставим данные:

\[ AC^2=5^2+3^2-2\cdot5\cdot3\cdot\cos120^\circ. \]

Так как \(\cos120^\circ=-\frac12\), получаем:

\[ AC^2=25+9-30\left(-\frac12\right)=34+15=49. \]

\[ AC=7\text{ см}. \]

№3

Используем теорему синусов:

\[ \frac{AC}{\sin B}=\frac{BC}{\sin A}. \]

Отсюда:

\[ AC=\frac{BC\cdot\sin B}{\sin A} =\frac{10\cdot\sin30^\circ}{\sin45^\circ}. \]

\[ AC=\frac{10\cdot\frac12}{\frac{\sqrt2}{2}} =5\sqrt2\text{ см}. \]

Проверка: сторона \(BC=10\) лежит напротив угла \(45^\circ\), а \(AC=5\sqrt2\) — напротив меньшего угла \(30^\circ\), поэтому \(AC<BC\), что верно.