Реши №90

Краткий ответ:

• а) \(-1\) — рациональное;
• б) \(\sqrt6-4\) — иррациональное;
• в) \(4\) — рациональное;
• г) \(2\sqrt2\) — иррациональное;
• д) \(5+2\sqrt6\) — иррациональное;
• е) \(\dfrac{10}{3}\) — рациональное.

Решение

Используем формулу разности квадратов: \[ (x+y)(x-y)=x^2-y^2. \]

а) \[ (\sqrt2+\sqrt3)(\sqrt2-\sqrt3)=2-3=-1. \]

б) \[ (\sqrt2+2\sqrt3)(\sqrt2-\sqrt3) =2-\sqrt6+2\sqrt6-6 =\sqrt6-4. \] Число иррациональное, так как \(\sqrt6\) иррационально.

в) \[ \frac1{2+\sqrt3}+\frac1{2-\sqrt3} = \frac{(2-\sqrt3)+(2+\sqrt3)} {(2+\sqrt3)(2-\sqrt3)} = \frac4{4-3}=4. \]

г) \[ \frac1{\sqrt3-\sqrt2}-\frac1{\sqrt3+\sqrt2} = \frac{(\sqrt3+\sqrt2)-(\sqrt3-\sqrt2)} {3-2} =2\sqrt2. \]

д) Домножим на сопряжённое выражение: \[ \frac{\sqrt2+\sqrt3}{\sqrt3-\sqrt2} \cdot \frac{\sqrt3+\sqrt2}{\sqrt3+\sqrt2} = \frac{(\sqrt2+\sqrt3)^2}{3-2}. \] \[ (\sqrt2+\sqrt3)^2=2+2\sqrt6+3=5+2\sqrt6. \]

е) \[ \frac{\sqrt5}{\sqrt5-\sqrt2} +\frac{\sqrt5}{\sqrt5+\sqrt2} = \frac{\sqrt5\bigl((\sqrt5+\sqrt2)+(\sqrt5-\sqrt2)\bigr)} {5-2} = \frac{10}{3}. \]

Проверка: рациональные ответы получились в пунктах а, в, е, иррациональные — в пунктах б, г, д.