Реши 2 найди производную

Краткий ответ:

\[ y=\frac{\sqrt{x}+x^2+1}{x-1} \]

\[ \boxed{\,y'= \frac{\left(2x+\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)(x-1)-(\sqrt{x}+x^2+1)} {(x-1)^2}\,} \]

После упрощения:

\[ \boxed{\,y'= \frac{x^2-2x-1-\frac{x+1}{2\sqrt{x}}}{(x-1)^2}\,} \]

Решение

Обозначим:

\[ u=\sqrt{x}+x^2+1,\qquad v=x-1. \]

Тогда:

\[ u'=\frac{1}{2\sqrt{x}}+2x,\qquad v'=1. \]

Используем правило производной частного:

\[ \left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}. \]

Подставляем:

\[ y'= \frac{\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}+2x\right)(x-1) -(\sqrt{x}+x^2+1)\cdot1} {(x-1)^2}. \]

Производная существует при

\[ x>0,\qquad x\ne1. \]