Реши задание на изображении
Краткий ответ (№ 2 читаю как \(\dfrac{x+12}{x+4}=x^0\)):
- \(x=\dfrac95\)
- Решений нет: \(\varnothing\)
- \(x=7\) или \(x=-\dfrac12\)
- \(x=7\)
- \(x=-8\) или \(x=-2\)
- Решений нет: \(\varnothing\)
Решение
Главное правило: сначала исключаем значения, при которых знаменатель равен нулю.
1)
\[
\frac1{4x-7}=5,\qquad 4x-7\ne0
\]
\[
1=5(4x-7)
\]
\[
1=20x-35,\qquad 20x=36
\]
\[
\boxed{x=\frac95}
\]
Проверка: \(4\cdot\dfrac95-7=\dfrac15\), поэтому \(\dfrac1{1/5}=5\).
2)
\[
\frac{x+12}{x+4}=x^0,\qquad x\ne-4,\;x\ne0
\]
Так как \(x^0=1\), получаем:
\[
\frac{x+12}{x+4}=1
\]
\[
x+12=x+4
\]
\[
12=4
\]
Это невозможно, значит:
\[
\boxed{\varnothing}
\]
3)
\[
\frac{13x}{2x^2-7}=1
\]
\[
13x=2x^2-7
\]
\[
2x^2-13x-7=0
\]
\[
D=(-13)^2-4\cdot2\cdot(-7)=225
\]
\[
x=\frac{13\pm15}{4}
\]
\[
\boxed{x=7,\quad x=-\frac12}
\]
Оба значения не обращают знаменатель в ноль.
4)
\[
\frac1{3x-4}=\frac1{4x-11}
\]
\[
3x-4\ne0,\qquad 4x-11\ne0
\]
Перемножаем крест-накрест:
\[
4x-11=3x-4
\]
\[
\boxed{x=7}
\]
Ограничения не нарушены.
5)
\[
\frac{x+8}{5x+7}=\frac{x+8}{4x+5}
\]
\[
x\ne-\frac75,\qquad x\ne-\frac54
\]
\[
(x+8)(4x+5)=(x+8)(5x+7)
\]
\[
(x+8)\bigl((4x+5)-(5x+7)\bigr)=0
\]
\[
(x+8)(-x-2)=0
\]
\[
\boxed{x=-8,\quad x=-2}
\]
Оба корня допустимы. Важно: нельзя сразу сокращать \(x+8\), иначе потеряется корень \(x=-8\).
6)
\[
\frac{3x-1}{x^2-25}
=
\frac{x+1}{x^2+5x}
+
\frac{2x-3}{x^2-5x}
\]
ОДЗ: \[ x\ne-5,\qquad x\ne0,\qquad x\ne5 \]
Разложим знаменатели: \[ x^2+5x=x(x+5),\qquad x^2-5x=x(x-5) \]
Приведём правую часть к общему знаменателю: \[ \frac{(x+1)(x-5)+(2x-3)(x+5)} {x(x+5)(x-5)} \] \[ (x+1)(x-5)+(2x-3)(x+5) =3x^2+3x-20 \]
Тогда: \[ \frac{3x-1}{x^2-25} = \frac{3x^2+3x-20}{x(x^2-25)} \]
После умножения: \[ x(3x-1)=3x^2+3x-20 \] \[ 3x^2-x=3x^2+3x-20 \] \[ 4x=20,\qquad x=5 \]
Но \(x=5\) запрещено ОДЗ. Поэтому: \[ \boxed{\varnothing} \]
