Задание 7

Для первообразной \(F(x)\) должно выполняться:

\[ F'(x)=f(x). \]

а) \(\displaystyle f(x)=\frac1{\sin^2 x}\)

Найдём производную функции \(f(x)\):

\[ f(x)=(\sin x)^{-2}, \]

\[ f'(x)=-2(\sin x)^{-3}\cos x =-\frac{2\cos x}{\sin^3 x}. \]

Первообразная:

\[ F(x)=\int\frac{dx}{\sin^2x} =-\operatorname{ctg}x+C, \]

так как

\[ (\operatorname{ctg}x)'=-\frac1{\sin^2x}. \]

Ответ:

\[ \boxed{f'(x)=-\frac{2\cos x}{\sin^3x}},\qquad \boxed{F(x)=-\operatorname{ctg}x+C}. \]

---

б) \(\displaystyle f(x)=\frac1{x^3}\)

Представим функцию в виде степени:

\[ f(x)=x^{-3}. \]

Производная:

\[ f'(x)=-3x^{-4}=-\frac3{x^4}. \]

Первообразная:

\[ F(x)=\int x^{-3}\,dx =\frac{x^{-2}}{-2} =-\frac1{2x^2}+C. \]

Ответ:

\[ \boxed{f'(x)=-\frac3{x^4}},\qquad \boxed{F(x)=-\frac1{2x^2}+C}. \]

---

Задание 8

Используем условие: если график первообразной проходит через точку \((x_0;y_0)\), то

\[ F(x_0)=y_0. \]

а) \(\displaystyle f(x)=\frac1{x^5},\quad A\left(\frac12;-7\right)\)

Находим общий вид первообразной:

\[ F(x)=\int x^{-5}\,dx =-\frac1{4x^4}+C. \]

Подставим координаты точки \(A\):

\[ -\frac1{4\left(\frac12\right)^4}+C=-7. \]

Так как

\[ \left(\frac12\right)^4=\frac1{16}, \]

получаем:

\[ -4+C=-7, \]

\[ C=-3. \]

Ответ:

\[ \boxed{F(x)=-\frac1{4x^4}-3}. \]

---

б) \(\displaystyle f(x)=2x^3,\quad B(3;15)\)

\[ F(x)=\int 2x^3\,dx=\frac{x^4}{2}+C. \]

Используем точку \(B\):

\[ \frac{3^4}{2}+C=15, \]

\[ \frac{81}{2}+C=15=\frac{30}{2}, \]

\[ C=-\frac{51}{2}. \]

Ответ:

\[ \boxed{F(x)=\frac{x^4}{2}-\frac{51}{2}}. \]

---

в) \(\displaystyle f(x)=3\cos x,\quad C\left(-\frac{\pi}{3};\sqrt3\right)\)

\[ F(x)=\int3\cos x\,dx=3\sin x+C. \]

Подставим координаты точки:

\[ 3\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)+C=\sqrt3. \]

Так как

\[ \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt3}{2}, \]

то

\[ -\frac{3\sqrt3}{2}+C=\sqrt3, \]

\[ C=\frac{5\sqrt3}{2}. \]

Ответ:

\[ \boxed{F(x)=3\sin x+\frac{5\sqrt3}{2}}. \]

Задание 8

Нужно найти первообразную \(F(x)\), причём её график проходит через указанную точку. Поэтому после интегрирования используем условие:

\[ F(x_0)=y_0. \]

---

а) \(\displaystyle f(x)=\frac1{x^5},\quad A\left(\frac12;-7\right)\)

Представим функцию как степень:

\[ \frac1{x^5}=x^{-5}. \]

Находим первообразную:

\[ F(x)=\int x^{-5}\,dx =\frac{x^{-4}}{-4}+C =-\frac1{4x^4}+C. \]

Так как график проходит через точку \(A\), то

\[ F\left(\frac12\right)=-7. \]

Подставим:

\[ -\frac1{4\left(\frac12\right)^4}+C=-7. \]

\[ \left(\frac12\right)^4=\frac1{16}, \qquad -\frac1{4\cdot\frac1{16}}=-4. \]

Значит,

\[ -4+C=-7,\qquad C=-3. \]

Ответ:

\[ \boxed{F(x)=-\frac1{4x^4}-3}. \]

---

б) \(\displaystyle f(x)=2x^3,\quad B(3;15)\)

Находим первообразную:

\[ F(x)=\int 2x^3\,dx=\frac{x^4}{2}+C. \]

Используем координаты точки \(B(3;15)\):

\[ F(3)=15. \]

\[ \frac{3^4}{2}+C=15, \]

\[ \frac{81}{2}+C=\frac{30}{2}, \]

\[ C=-\frac{51}{2}. \]

Ответ:

\[ \boxed{F(x)=\frac{x^4}{2}-\frac{51}{2}}. \]

---

в) \(\displaystyle f(x)=3\cos x,\quad C\left(-\frac{\pi}{3};\sqrt3\right)\)

Находим первообразную:

\[ F(x)=\int 3\cos x\,dx=3\sin x+C. \]

Так как график проходит через точку \(C\), то

\[ F\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\sqrt3. \]

Подставим:

\[ 3\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)+C=\sqrt3. \]

Поскольку

\[ \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt3}{2}, \]

получаем:

\[ -\frac{3\sqrt3}{2}+C=\sqrt3, \]

\[ C=\frac{5\sqrt3}{2}. \]

Ответ:

\[ \boxed{F(x)=3\sin x+\frac{5\sqrt3}{2}}. \]

Используется уравнение графика функции:

\[ y=F(x). \]

Если график первообразной \(F(x)\) проходит через точку \(P(x_0;y_0)\), то координаты этой точки удовлетворяют уравнению графика:

\[ \boxed{F(x_0)=y_0}. \]

То есть в найденную формулу первообразной подставляем первую координату точки \(x_0\), а результат приравниваем ко второй координате \(y_0\).

Например, если

\[ F(x)=-\frac1{4x^4}+K \]

и точка \(A\left(\frac12;-7\right)\), то:

\[ F\left(\frac12\right)=-7, \]

\[ -\frac1{4\left(\frac12\right)^4}+K=-7. \]

Здесь \(K\) — произвольная постоянная, которую мы находим.