Реши задачи
Краткие ответы
- \(x=-\frac78\).
- \(\displaystyle \frac{y(x+1)}{x^2(x+y)}\), где \(x\ne0,\ y\ne0,\ x+y\ne0\).
- \((x;y)=(1;-3)\).
- \((2x-3)(x-2)\).
- Вершина: \((0;-4)\); пересечения с \(Ox\): \((-2;0)\), \((2;0)\); с \(Oy\): \((0;-4)\).
- \(80{,}625=80\frac58\).
- \(\triangle KTM=\triangle PTS\) по двум сторонам и углу между ними.
Решение
1. Уравнение
\[ -2(2-5x)=2(x-3)-5 \]
Раскроем скобки:
\[ -4+10x=2x-6-5 \]
\[ -4+10x=2x-11 \]
\[ 8x=-7 \]
\[ \boxed{x=-\frac78} \]
Проверка:
\[ \text{левая часть}=\text{правая часть}=-\frac{51}{4}. \]
2. Упрощение выражения
\[ \frac{xy+y}{x}\cdot\frac{y}{x+y}:xy \]
Вынесем \(y\) за скобки:
\[ xy+y=y(x+1) \]
Деление на \(xy\) заменим умножением на \(\frac1{xy}\):
\[ \frac{y(x+1)}{x}\cdot\frac{y}{x+y}\cdot\frac1{xy} \]
Сократим \(y\):
\[ \boxed{\frac{y(x+1)}{x^2(x+y)}}. \]
Ограничения:
\[ \boxed{x\ne0,\quad y\ne0,\quad x+y\ne0}. \]
3. Система уравнений
\[ \begin{cases} 2x+3y=-7,\\ x-y=4. \end{cases} \]
Из второго уравнения:
\[ x=y+4. \]
Подставим в первое:
\[ 2(y+4)+3y=-7 \]
\[ 5y+8=-7 \]
\[ 5y=-15,\qquad y=-3. \]
Тогда
\[ x=y+4=-3+4=1. \]
Ответ:
\[ \boxed{x=1,\quad y=-3}. \]
Проверка:
\[ 2\cdot1+3\cdot(-3)=-7,\qquad 1-(-3)=4. \]
4. Разложение на множители
\[ 2x^2-7x+6 \]
Подберём множители:
\[ 2x^2-7x+6=(2x-3)(x-2). \]
Проверка:
\[ (2x-3)(x-2)=2x^2-4x-3x+6=2x^2-7x+6. \]
\[ \boxed{(2x-3)(x-2)} \]
5. График функции
\[ y=x^2-4 \]
Это парабола, ветви направлены вверх.
Вершина:
\[ \boxed{(0;-4)}. \]
Для построения можно взять таблицу:
\[ \begin{array}{c|ccccc} x&-2&-1&0&1&2\\ \hline y&0&-3&-4&-3&0 \end{array} \]
Пересечение с осью \(Ox\):
\[ y=0,\qquad x^2-4=0 \]
\[ x^2=4,\qquad x=\pm2. \]
Точки:
\[ \boxed{(-2;0),\ (2;0)}. \]
Пересечение с осью \(Oy\):
\[ x=0,\qquad y=-4. \]
Точка:
\[ \boxed{(0;-4)}. \]
6. Вычисление
\[ \left(\frac34+2\frac38\right)\cdot25{,}8 \]
Переведём смешанное число в неправильную дробь:
\[ 2\frac38=\frac{19}{8},\qquad \frac34=\frac68. \]
\[ \frac68+\frac{19}{8}=\frac{25}{8}. \]
Также:
\[ 25{,}8=\frac{129}{5}. \]
Тогда
\[ \frac{25}{8}\cdot\frac{129}{5} =\frac{5\cdot129}{8} =\frac{645}{8} =80\frac58. \]
Ответ:
\[ \boxed{80{,}625}. \]
7. Равенство треугольников
Рассмотрим треугольники \(KTM\) и \(PTS\).
По отметкам на рисунке:
\[ KT=TP,\qquad MT=TS. \]
Углы
\[ \angle KTM\quad\text{и}\quad\angle PTS \]
— вертикальные, поэтому
\[ \angle KTM=\angle PTS. \]
Следовательно, в треугольниках равны две стороны и угол между ними:
\[ KT=TP,\qquad MT=TS,\qquad \angle KTM=\angle PTS. \]
Значит,
\[ \boxed{\triangle KTM\cong\triangle PTS} \]
по двум сторонам и углу между ними.
