Реши и объясни

Задание 4

Используем формулы: \[ \int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,\qquad \int e^x\,dx=e^x+C, \] \[ \int \frac{dx}{\cos^2x}=\tg x+C,\qquad \int a^x\ln a\,dx=a^x+C. \]

а)

\[ f(x)=7-2x+3x^2. \]

\[ F(x)=\int(7-2x+3x^2)\,dx =7x-x^2+x^3+C. \]

Ответ: \[ \boxed{F(x)=7x-x^2+x^3+C} \]

б)

Раскроем скобки: \[ x^4(3-x^2)=3x^4-x^6. \]

\[ F(x)=\int(3x^4-x^6)\,dx =\frac{3x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+C. \]

Ответ: \[ \boxed{F(x)=\frac{3x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+C} \]

в)

\[ f(x)=\frac{5x^2}{6}-\frac{7}{\cos^2x}. \]

\[ F(x)=\frac{5}{6}\cdot\frac{x^3}{3}-7\int\frac{dx}{\cos^2x} =\frac{5x^3}{18}-7\tg x+C. \]

Ответ: \[ \boxed{F(x)=\frac{5x^3}{18}-7\tg x+C} \]

г)

\[ f(x)=\frac1{x^7}-\frac2{\sqrt{x}}+\frac12e^x+3^x\ln3. \]

Представим первые два слагаемых как степени: \[ \frac1{x^7}=x^{-7},\qquad \frac2{\sqrt{x}}=2x^{-1/2}. \]

\[ \begin{aligned} F(x) &=\int\left(x^{-7}-2x^{-1/2}+\frac12e^x+3^x\ln3\right)dx\\ &=-\frac1{6x^6}-4\sqrt{x}+\frac12e^x+3^x+C. \end{aligned} \]

Ответ: \[ \boxed{F(x)=-\frac1{6x^6}-4\sqrt{x}+\frac12e^x+3^x+C} \]

Задание 5

а)

\[ \int\sin5x\,dx=-\frac{\cos5x}{5}+C. \]

Ответ: \[ \boxed{-\frac15\cos5x+C} \]

б)

\[ \int\left(6x+\frac13\right)^3dx. \]

При интегрировании степени линейного выражения делим ещё на коэффициент при \(x\): \[ \int\left(6x+\frac13\right)^3dx =\frac{\left(6x+\frac13\right)^4}{6\cdot4}+C. \]

Ответ: \[ \boxed{\frac{\left(6x+\frac13\right)^4}{24}+C} \]

в)

\[ \int\frac{dx}{e^{2x}} =\int e^{-2x}\,dx =-\frac12e^{-2x}+C. \]

Или: \[ \boxed{-\frac1{2e^{2x}}+C} \]

г)

Используем формулу: \[ \int a^{kx}\,dx=\frac{a^{kx}}{k\ln a}+C. \]

\[ \int7^{3x}\,dx=\frac{7^{3x}}{3\ln7}+C. \]

Ответ: \[ \boxed{\frac{7^{3x}}{3\ln7}+C} \]